偏导数与全微分

偏导数的定义

偏导数的概念

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果极限：

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作：

$f_x(x_0, y_0) \quad \text{或} \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}$

类似地，对 $y$ 的偏导数定义为：

$f_y(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

偏导数的几何意义

• $f_x(x_0, y_0)$：表示曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处沿 $x$ 轴方向的切线斜率
• $f_y(x_0, y_0)$：表示曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处沿 $y$ 轴方向的切线斜率

偏导数的计算

计算偏导数时，将其他变量视为常数，按一元函数求导法则进行计算。

例：求 $f(x, y) = x^2y + y^3$ 的偏导数。

解： $f_x = 2xy$（将 $y$ 视为常数） $f_y = x^2 + 3y^2$（将 $x$ 视为常数）

高阶偏导数

二阶偏导数

函数 $f(x, y)$ 的二阶偏导数有四个：

1. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}$：对 $x$ 求两次偏导
2. $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}$：对 $y$ 求两次偏导
3. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy}$：先对 $x$ 求偏导，再对 $y$ 求偏导
4. $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{yx}$：先对 $y$ 求偏导，再对 $x$ 求偏导

Schwarz 定理

如果函数 $f(x, y)$ 的二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，则：

$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$

高阶偏导数

类似地，可以定义三阶、四阶等高阶偏导数。对于 $n$ 阶偏导数，有 $2^n$ 个。

全微分

全微分的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果存在常数 $A, B$，使得：

$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，$A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数在该点的全微分，记作：

$dz = A dx + B dy$

全微分存在的条件

定理：如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则在该点处偏导数存在，且：

$A = f_x(x_0, y_0), \quad B = f_y(x_0, y_0)$

即：

$dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$

可微的充分条件

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内偏导数存在且连续，则函数在该点可微。

全微分的性质

1. 线性性：$d(af + bg) = a df + b dg$
2. 乘积法则：$d(fg) = f dg + g df$
3. 商法则：$d(\frac{f}{g}) = \frac{g df - f dg}{g^2}$

复合函数求导

链式法则

设 $z = f(x, y)$，其中 $x = x(t), y = y(t)$，则：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

更一般的链式法则

设 $z = f(x, y)$，其中 $x = x(u, v), y = y(u, v)$，则：

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

隐函数求导

隐函数存在定理

设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某个邻域内连续，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某个邻域内唯一确定一个连续函数 $z = f(x, y)$。

隐函数求导公式

如果 $z = f(x, y)$ 由方程 $F(x, y, z) = 0$ 确定，则：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

例题

例 1：偏导数计算

求 $f(x, y) = x^2y + y^3$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。

解： $f_x = 2xy$，$f_y = x^2 + 3y^2$

在点 $(1, 2)$ 处： $f_x(1, 2) = 2 \times 1 \times 2 = 4$ $f_y(1, 2) = 1^2 + 3 \times 2^2 = 1 + 12 = 13$

例 2：高阶偏导数

求 $f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy$ 的所有二阶偏导数。

解： $f_x = 3x^2 + 3y$，$f_y = 3y^2 + 3x$

$f_{xx} = 6x$，$f_{yy} = 6y$ $f_{xy} = 3$，$f_{yx} = 3$

例 3：全微分

求 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分。

解： $f_x = 2x$，$f_y = 2y$

在点 $(1, 2)$ 处： $f_x(1, 2) = 2$，$f_y(1, 2) = 4$

所以 $dz = 2 dx + 4 dy$

例 4：复合函数求导

设 $z = x^2 + y^2$，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，求 $\frac{\partial z}{\partial r}$。

解： $\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$

$= 2x \cdot \cos\theta + 2y \cdot \sin\theta$

$= 2r\cos^2\theta + 2r\sin^2\theta = 2r$

练习题

练习 1

求 $f(x, y) = x^3y^2 + xy$ 在点 $(2, 1)$ 处的偏导数。

练习 2

求 $f(x, y) = e^{xy}$ 的所有二阶偏导数。

练习 3

求 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

练习 4

设 $z = x^2 + y^2$，$x = t^2$，$y = t^3$，求 $\frac{dz}{dt}$。

练习 5

设 $z = f(x, y)$ 由方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

常见错误与注意事项

1. 偏导数计算：计算偏导数时要将其他变量视为常数
2. 混合偏导次序：一般情况下 $f_{xy} \neq f_{yx}$，只有在连续时才相等
3. 全微分存在性：偏导数存在不一定意味着全微分存在
4. 链式法则：复合函数求导要正确应用链式法则
5. 隐函数求导：要注意分母不能为零

提示：偏导数的计算要特别注意变量之间的关系，建议多做练习来熟练掌握各种求导方法。