方向导数与梯度

方向导数

方向导数的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，$\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 是一个单位向量，如果极限：

$\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t\cos\alpha, y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数，记作：

$\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} \quad \text{或} \quad D_{\vec{l}}f(P_0)$

方向导数的计算公式

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处可微，则沿任意方向 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 的方向导数为：

$D_{\vec{l}}f(P_0) = f_x(x_0, y_0)\cos\alpha + f_y(x_0, y_0)\cos\beta$

方向导数的几何意义

方向导数表示函数在指定方向上的变化率，即函数在该方向上的切线斜率。

梯度

梯度的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处可微，则向量：

$\nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))$

称为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处的梯度。

梯度的性质

1. 方向导数与梯度的关系： $D_{\vec{l}}f(P_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{l}$

2. 梯度方向：梯度方向是函数增长最快的方向

3. 梯度模长：梯度的模长等于方向导数的最大值

4. 梯度为零：在极值点处梯度为零

梯度的几何意义

• 梯度方向是函数增长最快的方向
• 梯度的模长等于函数在该点的最大变化率
• 梯度垂直于等值线（等高线）

切平面与法线

曲面的切平面

设曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微，则曲面在该点的切平面方程为：

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

曲面的法线

曲面在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为：

$\vec{n} = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1)$

法线方程为：

$\frac{x - x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}$

一般曲面的切平面

对于一般曲面 $F(x, y, z) = 0$，在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：

$F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

法向量为：

$\vec{n} = (F_x(x_0, y_0, z_0), F_y(x_0, y_0, z_0), F_z(x_0, y_0, z_0))$

空间曲线的切线

参数方程曲线的切线

设空间曲线由参数方程给出：

在点 $t = t_0$ 处的切线方向向量为：

$\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$

切线方程为：

$\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z'(t_0)}$

两曲面交线的切线

设两曲面 $F(x, y, z) = 0$ 和 $G(x, y, z) = 0$ 的交线在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线方向向量为：

$\vec{T} = \nabla F(x_0, y_0, z_0) \times \nabla G(x_0, y_0, z_0)$

例题

例 1：方向导数计算

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处沿方向 $\vec{l} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 的方向导数。

解： $f_x = 2x$，$f_y = 2y$

在点 $(1, 1)$ 处：$f_x(1, 1) = 2$，$f_y(1, 1) = 2$

$D_{\vec{l}}f(1, 1) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

例 2：梯度计算

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的梯度。

解： $f_x = 2x$，$f_y = 2y$

在点 $(1, 2)$ 处：$f_x(1, 2) = 2$，$f_y(1, 2) = 4$

$\nabla f(1, 2) = (2, 4)$

例 3：切平面方程

求曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2, 5)$ 处的切平面方程。

解： $f_x = 2x$，$f_y = 2y$

在点 $(1, 2)$ 处：$f_x(1, 2) = 2$，$f_y(1, 2) = 4$

切平面方程：$z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)$

化简得：$2x + 4y - z - 5 = 0$

例 4：法线方程

求曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2, 5)$ 处的法线方程。

解： 法向量：$\vec{n} = (2, 4, -1)$

法线方程：$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 5}{-1}$

练习题

练习 1

求函数 $f(x, y) = x^2y$ 在点 $(1, 2)$ 处沿方向 $\vec{l} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ 的方向导数。

练习 2

求函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的梯度。

练习 3

求曲面 $z = xy$ 在点 $(2, 3, 6)$ 处的切平面方程。

练习 4

求曲面 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 在点 $(1, 2, 2)$ 处的切平面方程。

练习 5

求空间曲线 $\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \\ z = t^3 \end{cases}$ 在点 $t = 1$ 处的切线方程。

常见错误与注意事项

1. 方向向量：方向向量必须是单位向量
2. 梯度方向：梯度方向是函数增长最快的方向
3. 切平面方程：要注意点的坐标和偏导数的对应关系
4. 法向量：法向量的方向要正确
5. 参数方程：参数方程曲线的切线方向向量是各分量的导数

提示：方向导数和梯度的学习要特别注意几何意义，建议多画图来帮助理解。