极值与条件极值

多元函数的极值

极值的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点 $(x, y)$，都有：

$f(x, y) \geq f(x_0, y_0) \quad \text{（极小值）}$

或

$f(x, y) \leq f(x_0, y_0) \quad \text{（极大值）}$

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处取得极小值或极大值，统称为极值。

极值的必要条件

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处取得极值，且在该点处偏导数存在，则：

$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$

即梯度为零：$\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$

极值的充分条件

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内具有连续的二阶偏导数，且：

$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$

记：

$A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)$

$\Delta = AC - B^2$

则：

1. $\Delta > 0$ 且 $A > 0$：函数在 $P_0$ 处取得极小值
2. $\Delta > 0$ 且 $A < 0$：函数在 $P_0$ 处取得极大值
3. $\Delta < 0$：函数在 $P_0$ 处不取得极值（鞍点）
4. $\Delta = 0$：需要进一步判断

极值的求法

1. 求驻点：解方程组 $\begin{cases} f_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) = 0 \end{cases}$
2. 判别极值：对每个驻点，计算二阶偏导数并应用充分条件
3. 边界极值：考虑定义域的边界点

条件极值

条件极值的定义

在约束条件 $g(x, y) = 0$ 下，求函数 $f(x, y)$ 的极值，称为条件极值。

拉格朗日乘数法

设函数 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内具有连续的一阶偏导数，且 $g(x_0, y_0) = 0$，$\nabla g(x_0, y_0) \neq \vec{0}$。

如果 $f(x, y)$ 在约束条件 $g(x, y) = 0$ 下在点 $P_0$ 处取得极值，则存在常数 $\lambda$，使得：

$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda \nabla g(x_0, y_0)$

即：

拉格朗日函数

构造拉格朗日函数：

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$

则条件极值的必要条件为：

多个约束条件

对于多个约束条件 $g_1(x, y) = 0, g_2(x, y) = 0$，拉格朗日函数为：

$L(x, y, \lambda_1, \lambda_2) = f(x, y) - \lambda_1 g_1(x, y) - \lambda_2 g_2(x, y)$

泰勒公式

二元函数的泰勒展开

设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内具有连续的二阶偏导数，则：

$f(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + \frac{1}{2}[f_{xx}(x_0, y_0)(x - x_0)^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)(x - x_0)(y - y_0) + f_{yy}(x_0, y_0)(y - y_0)^2] + R_2$

其中 $R_2$ 为余项。

例题

例 1：无条件极值

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y$ 的极值。

解： $f_x = 2x - 2$，$f_y = 2y - 4$

令 $f_x = 0$，$f_y = 0$，得：$x = 1$，$y = 2$

驻点：$(1, 2)$

$f_{xx} = 2$，$f_{xy} = 0$，$f_{yy} = 2$

$\Delta = 2 \times 2 - 0^2 = 4 > 0$，且 $A = 2 > 0$

所以函数在点 $(1, 2)$ 处取得极小值：$f(1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 = -5$

例 2：条件极值

用拉格朗日乘数法求 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在约束 $x + y = 1$ 下的极值。

解： 构造拉格朗日函数：$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x + y - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda = 0$ $\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0$ $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 1) = 0$

解得：$x = y = \frac{1}{2}$，$\lambda = 1$

极小值：$f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

例 3：边界极值

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在区域 $x^2 + y^2 \leq 1$ 上的极值。

解：

1. 内部极值：$f_x = 2x$，$f_y = 2y$，驻点 $(0, 0)$ $f(0, 0) = 0$（极小值）

2. 边界极值：在边界 $x^2 + y^2 = 1$ 上，$f(x, y) = 1$（常数） 所以边界上每一点都是极大值点。

例 4：多个约束条件

求 $f(x, y, z) = x + y + z$ 在约束 $x^2 + y^2 = 1$，$x + z = 1$ 下的极值。

解： 构造拉格朗日函数：$L(x, y, z, \lambda_1, \lambda_2) = x + y + z - \lambda_1(x^2 + y^2 - 1) - \lambda_2(x + z - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda_1 x - \lambda_2 = 0$ $\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda_1 y = 0$ $\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - \lambda_2 = 0$ $\frac{\partial L}{\partial \lambda_1} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$ $\frac{\partial L}{\partial \lambda_2} = -(x + z - 1) = 0$

解得：$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$z = \frac{1}{2}$

练习题

练习 1

求函数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的极值。

练习 2

用拉格朗日乘数法求 $f(x, y) = xy$ 在约束 $x + y = 2$ 下的极值。

练习 3

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在区域 $|x| + |y| \leq 1$ 上的极值。

练习 4

求 $f(x, y, z) = xyz$ 在约束 $x + y + z = 1$，$x, y, z > 0$ 下的极值。

练习 5

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$ 的极值。

常见错误与注意事项

1. 驻点判别：驻点不一定是极值点，需要进一步判别
2. 边界极值：要考虑定义域的边界
3. 拉格朗日乘数：$\lambda$ 的符号要正确
4. 约束条件：约束条件必须是独立的
5. 二阶判别：当 $\Delta = 0$ 时，需要其他方法判别

提示：极值问题要特别注意边界条件和约束条件的处理，建议多做练习来熟练掌握各种方法。