二重积分

二重积分的定义

二重积分的概念

设函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有定义，将 $D$ 任意分割成 $n$ 个小区域 $\Delta D_1, \Delta D_2, \ldots, \Delta D_n$，在每个小区域 $\Delta D_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作和式：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta A_i$

其中 $\Delta A_i$ 表示小区域 $\Delta D_i$ 的面积。当分割越来越细，最大直径趋于零时，如果这个和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记作：

$\iint_D f(x, y) dA = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta A_i$

其中 $\lambda$ 表示所有小区域的最大直径。

二重积分的几何意义

• 当 $f(x, y) \geq 0$ 时，二重积分表示以 $D$ 为底，以曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积
• 当 $f(x, y) < 0$ 时，二重积分的绝对值表示相应曲顶柱体的体积

二重积分的性质

线性性质

$\iint_D [af(x, y) + bg(x, y)] dA = a\iint_D f(x, y) dA + b\iint_D g(x, y) dA$

区域可加性

如果区域 $D$ 可以分解为两个不相重叠的子区域 $D_1$ 和 $D_2$，则：

$\iint_D f(x, y) dA = \iint_{D_1} f(x, y) dA + \iint_{D_2} f(x, y) dA$

保号性

如果 $f(x, y) \geq 0$ 在 $D$ 上成立，则：

$\iint_D f(x, y) dA \geq 0$

单调性

如果 $f(x, y) \geq g(x, y)$ 在 $D$ 上成立，则：

$\iint_D f(x, y) dA \geq \iint_D g(x, y) dA$

中值定理

如果 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，则存在点 $(\xi, \eta) \in D$，使得：

$\iint_D f(x, y) dA = f(\xi, \eta) \cdot A(D)$

其中 $A(D)$ 表示区域 $D$ 的面积。

二重积分的计算

直角坐标系下的计算

累次积分法

如果区域 $D$ 可以表示为：

$D = \{(x, y) | a \leq x \leq b, \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x)\}$

则：

$\iint_D f(x, y) dA = \int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y) dy dx$

如果区域 $D$ 可以表示为：

$D = \{(x, y) | c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)\}$

则：

$\iint_D f(x, y) dA = \int_c^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dx dy$

交换积分次序

在某些情况下，交换积分次序可以简化计算：

$\int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y) dy dx = \int_c^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dx dy$

极坐标系下的计算

在极坐标系下，二重积分的计算公式为：

$\iint_D f(x, y) dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$

其中 $r$ 为极径，$\theta$ 为极角。

极坐标下的累次积分

如果区域 $D$ 在极坐标系下可以表示为：

$D = \{(r, \theta) | \alpha \leq \theta \leq \beta, r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)\}$

则：

$\iint_D f(x, y) dA = \int_\alpha^\beta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$

二重积分的应用

面积计算

区域 $D$ 的面积为：

$A(D) = \iint_D dA$

体积计算

以 $D$ 为底，以曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积为：

$V = \iint_D f(x, y) dA$

质量计算

如果 $\rho(x, y)$ 表示面密度，则区域 $D$ 的质量为：

$M = \iint_D \rho(x, y) dA$

重心计算

区域 $D$ 的重心坐标为：

$\bar{x} = \frac{1}{A(D)} \iint_D x dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{A(D)} \iint_D y dA$

例题

例 1：直角坐标系下的二重积分

计算 $\iint_D x^2y dA$，其中 $D$ 为矩形区域 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2$。

解： $\iint_D x^2y dA = \int_0^1 \int_0^2 x^2y dy dx$

$= \int_0^1 x^2 \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^2 dx$

$= \int_0^1 x^2 \times 2 dx = 2 \int_0^1 x^2 dx$

$= 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

例 2：极坐标系下的二重积分

计算 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} dA$，其中 $D$ 为单位圆 $x^2 + y^2 \leq 1$。

解： 在极坐标系下，$D = \{(r, \theta) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi\}$

$\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r \cdot r dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{3}r^3\right]_0^1 d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} d\theta = \frac{2\pi}{3}$

例 3：交换积分次序

计算 $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx$。

解： 交换积分次序：

$\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx = \int_0^1 \int_0^y e^{y^2} dx dy$

$= \int_0^1 y e^{y^2} dy$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 e^{y^2} d(y^2) = \frac{1}{2}[e^{y^2}]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$

练习题

练习 1

计算 $\iint_D xy dA$，其中 $D$ 为 $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$。

练习 2

计算 $\iint_D (x + y) dA$，其中 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leq 1$。

练习 3

计算 $\int_0^1 \int_{x^2}^x xy dy dx$。

练习 4

计算 $\iint_D e^{x^2 + y^2} dA$，其中 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leq 4$。

练习 5

求区域 $D = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$ 的面积。

常见错误与注意事项

1. 积分次序：要注意积分变量的上下限对应关系
2. 极坐标变换：极坐标下要乘以 $r$ 因子
3. 区域边界：要正确确定积分区域的边界
4. 交换积分次序：交换时要重新确定积分限
5. 对称性：利用对称性可以简化计算

提示：二重积分的计算要特别注意积分区域的确定和积分次序的选择，建议多做练习来熟练掌握各种计算方法。