三重积分

三重积分的定义

三重积分的概念

设函数 $f(x, y, z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上有定义，将 $\Omega$ 任意分割成 $n$ 个小区域 $\Delta V_1, \Delta V_2, \ldots, \Delta V_n$，在每个小区域 $\Delta V_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，作和式：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i$

其中 $\Delta V_i$ 表示小区域 $\Delta V_i$ 的体积。当分割越来越细，最大直径趋于零时，如果这个和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i$

其中 $\lambda$ 表示所有小区域的最大直径。

三重积分的几何意义

• 当 $f(x, y, z) \geq 0$ 时，三重积分表示以 $\Omega$ 为底，以曲面 $w = f(x, y, z)$ 为顶的四维体积
• 当 $f(x, y, z) < 0$ 时，三重积分的绝对值表示相应四维体积

三重积分的性质

线性性质

$\iiint_\Omega [af(x, y, z) + bg(x, y, z)] dV = a\iiint_\Omega f(x, y, z) dV + b\iiint_\Omega g(x, y, z) dV$

区域可加性

如果区域 $\Omega$ 可以分解为两个不相重叠的子区域 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$，则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iiint_{\Omega_1} f(x, y, z) dV + \iiint_{\Omega_2} f(x, y, z) dV$

保号性

如果 $f(x, y, z) \geq 0$ 在 $\Omega$ 上成立，则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV \geq 0$

单调性

如果 $f(x, y, z) \geq g(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上成立，则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV \geq \iiint_\Omega g(x, y, z) dV$

中值定理

如果 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上连续，则存在点 $(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega$，使得：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = f(\xi, \eta, \zeta) \cdot V(\Omega)$

其中 $V(\Omega)$ 表示区域 $\Omega$ 的体积。

三重积分的计算

直角坐标系下的计算

累次积分法

如果区域 $\Omega$ 可以表示为：

$\Omega = \{(x, y, z) | a \leq x \leq b, \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x), \psi_1(x, y) \leq z \leq \psi_2(x, y)\}$

则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} \int_{\psi_1(x, y)}^{\psi_2(x, y)} f(x, y, z) dz dy dx$

柱面坐标系下的计算

在柱面坐标系下，三重积分的计算公式为：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iiint_\Omega f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) r dr d\theta dz$

其中 $r$ 为极径，$\theta$ 为极角，$z$ 为高度。

柱面坐标下的累次积分

如果区域 $\Omega$ 在柱面坐标系下可以表示为：

$\Omega = \{(r, \theta, z) | \alpha \leq \theta \leq \beta, r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta), z_1(r, \theta) \leq z \leq z_2(r, \theta)\}$

则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \int_\alpha^\beta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) r dz dr d\theta$

球面坐标系下的计算

在球面坐标系下，三重积分的计算公式为：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iiint_\Omega f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi) \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$

其中 $\rho$ 为球半径，$\phi$ 为天顶角，$\theta$ 为方位角。

球面坐标下的累次积分

如果区域 $\Omega$ 在球面坐标系下可以表示为：

$\Omega = \{(\rho, \phi, \theta) | \alpha \leq \theta \leq \beta, \phi_1(\theta) \leq \phi \leq \phi_2(\theta), \rho_1(\phi, \theta) \leq \rho \leq \rho_2(\phi, \theta)\}$

则：

$\iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \int_\alpha^\beta \int_{\phi_1(\theta)}^{\phi_2(\theta)} \int_{\rho_1(\phi, \theta)}^{\rho_2(\phi, \theta)} f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi) \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$

三重积分的应用

体积计算

区域 $\Omega$ 的体积为：

$V(\Omega) = \iiint_\Omega dV$

质量计算

如果 $\rho(x, y, z)$ 表示体密度，则区域 $\Omega$ 的质量为：

$M = \iiint_\Omega \rho(x, y, z) dV$

重心计算

区域 $\Omega$ 的重心坐标为：

$\bar{x} = \frac{1}{V(\Omega)} \iiint_\Omega x dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V(\Omega)} \iiint_\Omega y dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V(\Omega)} \iiint_\Omega z dV$

转动惯量计算

区域 $\Omega$ 关于 $z$ 轴的转动惯量为：

$I_z = \iiint_\Omega (x^2 + y^2) \rho(x, y, z) dV$

例题

例 1：直角坐标系下的三重积分

计算 $\iiint_\Omega z dV$，其中 $\Omega$ 为长方体 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 2$。

解： $\iiint_\Omega z dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^2 z dz dy dx$

$= \int_0^1 \int_0^1 \left[\frac{1}{2}z^2\right]_0^2 dy dx$

$= \int_0^1 \int_0^1 2 dy dx$

$= \int_0^1 2 dx = 2$

例 2：柱面坐标系下的三重积分

计算 $\iiint_\Omega \sqrt{x^2 + y^2} dV$，其中 $\Omega$ 为圆柱体 $x^2 + y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1$。

解： 在柱面坐标系下，$\Omega = \{(r, \theta, z) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq z \leq 1\}$

$\iiint_\Omega \sqrt{x^2 + y^2} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 r \cdot r dz dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 dr d\theta$

$= 2\pi \int_0^1 r^2 dr = 2\pi \times \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$

例 3：球面坐标系下的三重积分

计算 $\iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) dV$，其中 $\Omega$ 为单位球 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$。

解： 在球面坐标系下，$\Omega = \{(\rho, \phi, \theta) | 0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2\pi\}$

$\iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \cdot \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^4\sin\phi d\rho d\phi d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left[\frac{1}{5}\rho^5\right]_0^1\sin\phi d\phi d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{1}{5}\sin\phi d\phi d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \frac{1}{5} \left[-\cos\phi\right]_0^\pi d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \frac{2}{5} d\theta = \frac{4\pi}{5}$

练习题

练习 1

计算 $\iiint_\Omega xyz dV$，其中 $\Omega$ 为 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1$。

练习 2

计算 $\iiint_\Omega (x + y + z) dV$，其中 $\Omega$ 为 $x^2 + y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1$。

练习 3

计算 $\iiint_\Omega e^{x^2 + y^2 + z^2} dV$，其中 $\Omega$ 为 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$。

练习 4

求球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ 的体积。

练习 5

计算 $\iiint_\Omega z dV$，其中 $\Omega$ 为锥体 $x^2 + y^2 \leq z^2, 0 \leq z \leq 1$。

常见错误与注意事项

1. 坐标变换：不同坐标系下的积分元素不同
2. 积分次序：要注意积分变量的上下限对应关系
3. 区域边界：要正确确定积分区域的边界
4. 对称性：利用对称性可以简化计算
5. 体积元素：柱面坐标下为 $r dr d\theta dz$，球面坐标下为 $\rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$

提示：三重积分的计算要特别注意坐标变换和积分区域的确定，建议多做练习来熟练掌握各种计算方法。