曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

第一类曲线积分的定义

设函数 $f(x, y)$ 在平面曲线 $C$ 上有定义，将 $C$ 任意分割成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_1, \Delta s_2, \ldots, \Delta s_n$，在每个小弧段 $\Delta s_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作和式：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$

当分割越来越细，最大弧长趋于零时，如果这个和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 沿曲线 $C$ 的第一类曲线积分，记作：

$\int_C f(x, y) ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$

第一类曲线积分的计算

参数方程形式

如果曲线 $C$ 由参数方程给出：$x = x(t), y = y(t), \alpha \leq t \leq \beta$，则：

$\int_C f(x, y) ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$

直角坐标形式

如果曲线 $C$ 可以表示为 $y = y(x), a \leq x \leq b$，则：

$\int_C f(x, y) ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx$

第一类曲线积分的应用

• 曲线长度：$L = \int_C ds$
• 质量计算：如果 $\rho(x, y)$ 表示线密度，则曲线质量为 $M = \int_C \rho(x, y) ds$

第二类曲线积分

第二类曲线积分的定义

设向量场 $\vec{F}(x, y) = P(x, y)\vec{i} + Q(x, y)\vec{j}$ 在平面曲线 $C$ 上有定义，将 $C$ 任意分割成 $n$ 个小弧段，在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作和式：

$\sum_{i=1}^n [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i]$

当分割越来越细时，如果这个和式的极限存在，则称此极限为向量场 $\vec{F}$ 沿曲线 $C$ 的第二类曲线积分，记作：

$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C P(x, y) dx + Q(x, y) dy$

第二类曲线积分的计算

参数方程形式

如果曲线 $C$ 由参数方程给出：$x = x(t), y = y(t), \alpha \leq t \leq \beta$，则：

$\int_C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)] dt$

第二类曲线积分的应用

• 功的计算：力场 $\vec{F}$ 沿曲线 $C$ 做功为 $W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$
• 流量计算：向量场 $\vec{F}$ 通过曲线 $C$ 的流量为 $\int_C \vec{F} \cdot \vec{n} ds$

曲面积分

第一类曲面积分

定义

设函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上有定义，将 $S$ 任意分割成 $n$ 个小曲面片 $\Delta S_1, \Delta S_2, \ldots, \Delta S_n$，在每个小曲面片 $\Delta S_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，作和式：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i$

当分割越来越细时，如果这个和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，记作：

$\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i$

计算

如果曲面 $S$ 由方程 $z = z(x, y)$ 给出，则：

$\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dx dy$

其中 $D$ 是 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影。

第二类曲面积分

定义

设向量场 $\vec{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\vec{i} + Q(x, y, z)\vec{j} + R(x, y, z)\vec{k}$ 在曲面 $S$ 上有定义，则第二类曲面积分为：

$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy$

计算

如果曲面 $S$ 由参数方程给出：$x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)$，则：

$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F} \cdot \vec{n} |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| du dv$

其中 $\vec{n}$ 为曲面法向量，$\vec{r}_u, \vec{r}_v$ 为切向量。

重要公式

格林公式

设 $D$ 为平面上的有界闭区域，其边界 $\partial D$ 为分段光滑的简单闭曲线，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的一阶偏导数，则：

$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy = \oint_{\partial D} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$

其中 $\oint$ 表示沿闭曲线的积分，方向为逆时针。

高斯公式（散度定理）

设 $\Omega$ 为空间中的有界闭区域，其边界 $\partial \Omega$ 为分段光滑的闭曲面，向量场 $\vec{F}(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有连续的一阶偏导数，则：

$\iiint_\Omega \nabla \cdot \vec{F} dV = \iint_{\partial \Omega} \vec{F} \cdot d\vec{S}$

其中 $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 为散度。

斯托克斯公式

设 $S$ 为空间中的有向曲面，其边界 $\partial S$ 为分段光滑的闭曲线，向量场 $\vec{F}(x, y, z)$ 在 $S$ 上具有连续的一阶偏导数，则：

$\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

其中 $\nabla \times \vec{F}$ 为旋度。

例题

例 1：第一类曲线积分

计算 $\int_C (x^2 + y^2) ds$，其中 $C$ 为单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的一周。

解： 参数方程：$x = \cos t, y = \sin t, 0 \leq t \leq 2\pi$

$x'(t) = -\sin t, y'(t) = \cos t$

$\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1$

$\int_C (x^2 + y^2) ds = \int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t) \times 1 dt$

$= \int_0^{2\pi} 1 dt = 2\pi$

例 2：第二类曲线积分

计算 $\int_C (x - y) dx + (x + y) dy$，其中 $C$ 为以原点为中心、半径为 1 的圆的正向一周。

解： 利用格林公式：

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x + y)}{\partial x} - \frac{\partial (x - y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$

$\int_C (x - y) dx + (x + y) dy = \iint_D 2 dx dy = 2 \times \pi = 2\pi$

例 3：第一类曲面积分

计算 $\iint_S z dS$，其中 $S$ 为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的上半球。

解： 上半球可以表示为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

$z_x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}, z_y = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

$\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{1 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{1 - x^2 - y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

$\iint_S z dS = \iint_D \sqrt{1 - x^2 - y^2} \times \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dx dy$

$= \iint_D dx dy = \pi$

例 4：高斯公式应用

计算 $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$，其中 $\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，$S$ 为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的外侧。

解： 利用高斯公式：

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$

$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega 3 dV = 3 \times \frac{4\pi}{3} = 4\pi$

练习题

练习 1

计算 $\int_C xy ds$，其中 $C$ 为直线段从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$。

练习 2

计算 $\int_C x dx + y dy$，其中 $C$ 为从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的直线段。

练习 3

利用格林公式计算 $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$，其中 $C$ 为单位圆的正向一周。

练习 4

计算 $\iint_S (x^2 + y^2) dS$，其中 $S$ 为圆柱面 $x^2 + y^2 = 1, 0 \leq z \leq 1$。

练习 5

利用高斯公式计算 $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$，其中 $\vec{F} = x^2\vec{i} + y^2\vec{j} + z^2\vec{k}$，$S$ 为立方体 $0 \leq x, y, z \leq 1$ 的表面。

常见错误与注意事项

1. 积分方向：第二类曲线积分与积分方向有关
2. 参数化：曲线积分需要正确的参数化
3. 格林公式：要注意边界曲线的方向
4. 高斯公式：要注意曲面的方向
5. 坐标变换：曲面积分要注意面积元素的变换

提示：曲线积分和曲面积分的计算要特别注意积分方向和参数化，建议多做练习来熟练掌握各种计算方法。