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无穷级数的基本概念

无穷级数的定义

级数的概念

设 {an}\{a_n\} 是一个数列，则表达式：

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯+an+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots

称为无穷级数，简称级数。其中 ana_n 称为级数的通项。

部分和

级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 的前 nn 项和：

Sn=a1+a2+⋯+an=∑k=1nakS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k

称为级数的第 nn 个部分和。

收敛与发散

如果数列 {Sn}\{S_n\} 收敛，即存在有限极限：

lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n \to \infty} S_n = S

则称级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，SS 称为级数的和，记作：

∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S

如果数列 {Sn}\{S_n\} 发散，则称级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散。

级数的性质

线性性质

如果级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 和 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 都收敛，则：

∑n=1∞(an+bn)=∑n=1∞an+∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n

∑n=1∞(can)=c∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} (ca_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n

其中 cc 为常数。

收敛的必要条件

如果级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，则：

lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

注意：这是必要条件，不是充分条件。即 lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 不能保证级数收敛。

收敛性判别法

正项级数判别法

比较判别法

设 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 和 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 都是正项级数，且 an≤bna_n \leq b_n（nn 充分大时），则：

  1. 如果 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛，则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  2. 如果 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散，则 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散

比值判别法（达朗贝尔判别法）

设 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 为正项级数，且 an>0a_n > 0，如果：

lim⁡n→∞an+1an=ρ\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho

则：

  1. 当 ρ<1\rho < 1 时，级数收敛
  2. 当 ρ>1\rho > 1 时，级数发散
  3. 当 ρ=1\rho = 1 时，判别法失效

根值判别法（柯西判别法）

设 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 为正项级数，且 an≥0a_n \geq 0，如果：

lim⁡n→∞ann=ρ\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho

则：

  1. 当 ρ<1\rho < 1 时，级数收敛
  2. 当 ρ>1\rho > 1 时，级数发散
  3. 当 ρ=1\rho = 1 时，判别法失效

积分判别法

设 f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上连续、单调递减且非负，an=f(n)a_n = f(n)，则级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 与积分 ∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty} f(x) dx 同敛散。

交错级数判别法

莱布尼茨判别法

如果交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1an\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n 满足：

  1. an≥0a_n \geq 0（n=1,2,…n = 1, 2, \ldots）
  2. an+1≤ana_{n+1} \leq a_n（nn 充分大时）
  3. lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

则级数收敛。

任意项级数判别法

绝对收敛与条件收敛

如果级数 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛，则称级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛。

如果级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，但 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 发散，则称级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛。

定理：绝对收敛的级数必收敛。

常见级数

几何级数

级数 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n 称为几何级数，其中 a≠0a \neq 0。

  • 当 ∣r∣<1|r| < 1 时，级数收敛，和为 a1−r\frac{a}{1 - r}
  • 当 ∣r∣≥1|r| \geq 1 时，级数发散

pp 级数

级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 称为 pp 级数。

  • 当 p>1p > 1 时，级数收敛
  • 当 p≤1p \leq 1 时，级数发散

特别地，当 p=1p = 1 时，级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 称为调和级数，它是发散的。

调和级数

级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 称为调和级数，它是发散的。

例题

例 1：几何级数

判断级数 ∑n=0∞12n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，a=1,r=12a = 1, r = \frac{1}{2}

由于 ∣r∣=12<1|r| = \frac{1}{2} < 1，所以级数收敛。

和为：S=a1−r=11−12=2S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

例 2：pp 级数

判断级数 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 的收敛性。

解： 这是 pp 级数，p=2>1p = 2 > 1

所以级数收敛。

例 3：比值判别法

判断级数 ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} 的收敛性。

解： an=n!nna_n = \frac{n!}{n^n}

an+1an=(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!=nn(n+1)n=(nn+1)n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n

lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞(nn+1)n=1e<1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1

所以级数收敛。

例 4：莱布尼茨判别法

判断级数 ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} 的收敛性。

解： 这是交错级数，an=1na_n = \frac{1}{n}

  1. an>0a_n > 0
  2. an+1=1n+1<1n=ana_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = a_n
  3. lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

满足莱布尼茨判别法的条件，所以级数收敛。

练习题

练习 1

判断级数 ∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是 pp 级数，需要判断 pp 的值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 是 pp 级数
  2. 确定 pp 值：p=3p = 3
  3. 判断收敛性：p=3>1p = 3 > 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 2

判断级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是调和级数，是 pp 级数的特殊情况。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 是调和级数
  2. 确定 pp 值：p=1p = 1
  3. 判断收敛性：p=1≤1p = 1 \leq 1，所以级数发散

答案： 级数发散。

练习 3

判断级数 ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

  1. 设 an=n2na_n = \frac{n}{2^n}
  2. 计算比值：an+1an=n+12n+1⋅2nn=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}
  3. 求极限：lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞n+12n=12<1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1
  4. 判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 4

判断级数 ∑n=1∞(−1)nn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} 的收敛性。

参考答案

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

  1. 考虑绝对值级数：∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
  2. 这是 pp 级数，p=2>1p = 2 > 1，所以绝对收敛
  3. 由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 5

判断级数 ∑n=1∞1nln⁡n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

  1. 设 f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x\ln x}，则 an=f(n)a_n = f(n)
  2. 计算积分：∫2+∞1xln⁡xdx=∫2+∞1ln⁡xd(ln⁡x)=ln⁡(ln⁡x)∣2+∞=+∞\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty
  3. 积分发散，所以级数发散

答案： 级数发散。

常见错误与注意事项

  1. 必要条件：lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 是收敛的必要条件，不是充分条件
  2. 判别法选择：要根据级数的特点选择合适的判别法
  3. 绝对收敛：绝对收敛的级数必收敛，但收敛的级数不一定绝对收敛
  4. 交错级数：莱布尼茨判别法只适用于交错级数
  5. 积分判别法：要求函数单调递减

提示：无穷级数的学习要特别注意收敛性判别法的选择，建议多做练习来熟练掌握各种判别方法。