幂级数

幂级数的定义

幂级数的概念

形如：

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n + \cdots$

的级数称为幂级数，其中 $a_n$ 称为系数，$x_0$ 称为中心点。

特别地，当 $x_0 = 0$ 时，幂级数变为：

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots$

幂级数的收敛性

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛性有以下特点：

1. 收敛点：如果 $x = x_1$ 时级数收敛，则对于所有满足 $|x| < |x_1|$ 的 $x$，级数都收敛
2. 发散点：如果 $x = x_2$ 时级数发散，则对于所有满足 $|x| > |x_2|$ 的 $x$，级数都发散

收敛半径与收敛区间

收敛半径的定义

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，存在一个非负数 $R$（可能为 $+\infty$），使得：

1. 当 $|x| < R$ 时，级数绝对收敛
2. 当 $|x| > R$ 时，级数发散
3. 当 $|x| = R$ 时，级数的收敛性需要单独讨论

这个数 $R$ 称为幂级数的收敛半径。

收敛半径的计算

比值判别法

如果极限 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$ 存在，则：

根值判别法

如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$ 存在，则：

收敛区间

幂级数的收敛区间为 $(-R, R)$，其中 $R$ 为收敛半径。

在端点 $x = \pm R$ 处的收敛性需要单独判断。

幂级数的性质

连续性

幂级数在其收敛区间内连续。

逐项求导

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则其逐项求导后的级数：

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

的收敛半径也是 $R$，且在收敛区间内：

$\frac{d}{dx} \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

逐项积分

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则其逐项积分后的级数：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$

的收敛半径也是 $R$，且在收敛区间内：

$\int \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C$

泰勒级数

泰勒公式

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则在该邻域内：

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$

其中：

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$

称为拉格朗日余项，$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

泰勒级数

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有任意阶导数，且：

$\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$

则在该邻域内：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$

这个级数称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数。

特别地，当 $x_0 = 0$ 时，称为麦克劳林级数：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

常见函数的泰勒展开

指数函数

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

收敛区间：$(-\infty, +\infty)$

正弦函数

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

收敛区间：$(-\infty, +\infty)$

余弦函数

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

收敛区间：$(-\infty, +\infty)$

对数函数

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

收敛区间：$(-1, 1]$

几何级数

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$

收敛区间：$(-1, 1)$

例题

例 1：收敛半径计算

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径。

解： $a_n = \frac{1}{n!}$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$

所以收敛半径 $R = +\infty$，收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。

例 2：泰勒展开

求函数 $f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式。

解： $f^{(n)}(x) = e^x$，所以 $f^{(n)}(0) = 1$

泰勒展开式为：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

例 3：幂级数求和

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的和函数。

解： 已知 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x| < 1$）

逐项求导得：

$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$

两边乘以 $x$ 得：

$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$

例 4：收敛区间判断

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛区间。

解： $a_n = \frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$

所以收敛半径 $R = 1$。

在 $x = 1$ 处，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，这是调和级数，发散。

在 $x = -1$ 处，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，这是交错级数，收敛。

所以收敛区间为 $[-1, 1)$。

练习题

练习 1

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}$ 的收敛半径。

练习 2

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$ 的收敛区间。

练习 3

求函数 $f(x) = \sin x$ 的麦克劳林展开式。

练习 4

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的和函数。

练习 5

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$ 的收敛半径。

常见错误与注意事项

1. 收敛半径：要注意收敛半径的计算方法
2. 端点收敛性：收敛半径确定后，端点处的收敛性需要单独判断
3. 泰勒展开：要注意函数的可导性和余项的收敛性
4. 逐项运算：幂级数的逐项求导和积分要保持收敛半径
5. 和函数：要注意和函数的定义域

提示：幂级数的学习要特别注意收敛半径的计算和泰勒展开的应用，建议多做练习来熟练掌握各种计算方法。