利用积分中值定理

积分中值定理可以用于估计定积分的值。

积分中值定理的应用

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ 的值

解：

由于 $e^{-x^2}$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减
根据积分中值定理，存在 $\xi \in [0,1]$ ，使得 $\int_0^1 e^{-x^2} dx = e^{-\xi^2}$
由于 $e^{-1} \leq e^{-\xi^2} \leq e^0$ ，所以 $0.368 \leq \int_0^1 e^{-x^2} dx \leq 1$

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