积分的绝对值性质

积分的绝对值性质描述了积分的绝对值与绝对值的积分之间的关系。

基本定理

定理 6

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 \sin(\pi x) dx$ 的绝对值

解：

• $|\sin(\pi x)| \leq 1$ 在 $[0, 1]$ 上成立
• 根据绝对值性质：$\left|\int_0^1 \sin(\pi x) dx\right| \leq \int_0^1 |\sin(\pi x)| dx \leq \int_0^1 1 dx = 1$
• 实际上，$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = [-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)]_0^1 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$

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