区间可加性

区间可加性是定积分的重要性质，它允许我们将积分区间分割成若干子区间。

基本定理

定理 2

设 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上可积，$b \in (a, c)$，则：

$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

几何解释

曲边梯形的面积等于两个子区间上曲边梯形面积的和。

应用例子

例子：计算 $\int_0^2 x^2 dx$

解：

• $\int_0^2 x^2 dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x^2 dx$
• $= \frac{1}{3} + [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

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练习题

练习 1

利用区间可加性计算 $\int_0^3 x dx$。

参考答案

解题思路：将区间 $[0, 3]$ 分割为 $[0, 1]$ 和 $[1, 3]$ 两个子区间。

详细步骤：

1. $\int_0^3 x dx = \int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx$
2. $= \frac{1}{2} + [\frac{x^2}{2}]_1^3 = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

答案：$\frac{9}{2}$

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