积分的比较性质

积分的比较性质允许我们通过比较被积函数来比较积分值。

基本定理

定理 5

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$，则：

$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$

应用例子

例子：比较 $\int_0^1 x^2 dx$ 和 $\int_0^1 x dx$

解：

• 在 $[0, 1]$ 上，$x^2 \leq x$（因为 $x^2 - x = x(x-1) \leq 0$）
• 根据比较性质：$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$
• 计算得：$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$，确实成立

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