积分中值定理

积分中值定理是定积分理论中的重要定理，它建立了积分值与函数值之间的联系。

基本定理

定理 4

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

几何解释：存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积，这个矩形的高就是函数在区间内某点的值。

应用例子

例子：对于函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上，求满足积分中值定理的点 $\xi$

解：

• $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
• 根据积分中值定理：$\frac{1}{3} = \xi^2 \cdot 1$
• 所以 $\xi^2 = \frac{1}{3}$，即 $\xi = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

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练习题

练习 1

利用积分中值定理，对于函数 $f(x) = x$ 在 $[0, 2]$ 上，求满足定理的点 $\xi$。

参考答案

解题思路：先计算积分值，然后利用积分中值定理求解。

详细步骤：

1. $\int_0^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_0^2 = 2$
2. 根据积分中值定理：$2 = \xi \cdot 2$
3. 所以 $\xi = 1$

答案：$\xi = 1$

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