积分的周期性

积分的周期性是周期函数的重要性质。

基本定理

定理 8

设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则对于任意 $a$，有：

$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$

应用例子

例子：计算 $\int_{2\pi}^{4\pi} \sin x \, dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• 根据周期性：$\int_{2\pi}^{4\pi} \sin x \, dx = \int_{0}^{2\pi} \sin x \, dx$
• 而 $\sin x$ 在完整周期内正负面积相等，因此结果仍为 $0$

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