积分保号性

积分保号性描述了函数符号与积分值符号之间的关系。

基本定理

定理 3

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

1. 如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$
2. 如果 $f(x) > 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx > 0$

应用例子

例子：证明 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

解：

• 在 $[0, 1]$ 上，$x^2 \geq 0$ 且只在 $x = 0$ 时等于 0
• 由于 $x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续且非负，根据积分保号性，$\int_0^1 x^2 dx \geq 0$
• 进一步，由于 $x^2 > 0$ 在 $(0, 1]$ 上成立，所以 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

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