练习题

通过练习可以巩固“积分上限函数求导”“变限积分求导”以及相关的综合技巧。

练习 1

设 $F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

答案：$F'(x) = x^2$。

练习 2

设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t^2} \, dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

答案：$F'(x) = \frac{1}{x^2}$。

练习 3

设 $F(x) = \int_0^{x^3} \cos t \, dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

答案：$F'(x) = 3x^2 \cos(x^3)$。

练习 4

设 $f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \cos t\,dt$，求 $f'(0)$ 和 $f''(0)$，并判断 $x=0$ 是否为 $f(x)$ 的极值点。

参考答案

答案：$f'(0)=1$，$f''(0)=0$，$x=0$ 不是极值点。

练习 5

改编自 2022 考研数学一第 1 题

设 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，其中 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(1)$。

参考答案

答案：$f'(1) = e \sin 1$。

练习 6

改编自 2023 考研数学一第 3 题

设 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}$ 确定，且 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(0)$。

参考答案

答案：$f'(0) = 0$。

练习 7

改编自 2024 考研数学一第 1 题

已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{\cos t} dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

答案：$f'(x)=e^{\cos x}$，$f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$。

练习 8

改编自 2025 考研数学一第 1 题

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

答案：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$，$f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$。

练习 9

改编自 2022 考研数学一第 17 题

设 $y'= -\frac{1}{2\sqrt{x}}y + 2 + \sqrt{x}$，$y(1)=3$，且 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(1)$。

参考答案

答案：$f'(1) = e \sin 1$。

练习 10

改编自 2023 考研数学一第 14 题

设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$，$\int_0^2 f(x)dx=0$，且 $F(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $F'(0)$ 和 $F''(0)$。

参考答案

答案：$F'(0) = 0$，$F''(0) = 1$。

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