行列式的基本概念

行列式的定义

行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅是矩阵的一个数值特征，更在几何学、物理学等领域有重要应用。

二阶行列式

定义：对于二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$，其行列式定义为：

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

几何意义：

• 二阶行列式的绝对值表示以两个向量为邻边的平行四边形的面积
• 行列式的符号表示两个向量的相对方向（右手定则）

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$

解：$|A| = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$

三阶行列式

定义：对于三阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，其行列式定义为：

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

展开方法： 按第一行展开： $|A| = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

几何意义：

• 三阶行列式的绝对值表示以三个向量为邻边的平行六面体的体积
• 行列式的符号表示三个向量的相对方向

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}$

解： 按第一行展开： $|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ $= 1(1 \times 0 - 4 \times 6) - 2(0 \times 0 - 4 \times 5) + 3(0 \times 6 - 1 \times 5)$ $= 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5)$ $= -24 + 40 - 15 = 1$

n 阶行列式

定义：对于 n 阶矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，其行列式定义为：

$|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

其中 $S_n$ 是 n 个元素的对称群，$\text{sgn}(\sigma)$ 是置换 $\sigma$ 的符号。

展开方法：

• 按行展开：$|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$
• 按列展开：$|A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式。

行列式的基本性质

性质 1：转置不变性

性质：$|A| = |A^T|$

证明：行列式的定义中，行和列的地位是对称的。

性质 2：行（列）交换变号

性质：交换行列式的两行（列），行列式变号。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$

交换两行后： $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 4 \times 1 = 2$

性质 3：行（列）线性

性质：

• 某行（列）乘以常数 k，行列式乘以 k
• 某行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合

例子： $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 0 = 0$

性质 4：行（列）加法

性质：将一行（列）的 k 倍加到另一行（列），行列式不变。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$

将第一行加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times 6 - 2 \times 4 = -2$

性质 5：零行（列）

性质：如果行列式有一行（列）全为零，则行列式为零。

证明：按该行（列）展开，所有项都为零。

性质 6：成比例行（列）

性质：如果行列式有两行（列）成比例，则行列式为零。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$

因为第二行是第一行的 2 倍。

特殊行列式

对角行列式

定义：主对角线以外的元素都为零的行列式。

性质：对角行列式等于主对角线元素的乘积。

例子： $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2 \times 3 \times 4 = 24$

三角行列式

定义：上三角或下三角矩阵的行列式。

性质：三角行列式等于主对角线元素的乘积。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times 4 \times 6 = 24$

分块行列式

性质：对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，如果 $A$ 可逆，则：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|$

练习题

练习 1

计算行列式 $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$。

练习 2

计算行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$。

练习 3

判断行列式 $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ 是否为零，并说明原因。

练习 4

利用行列式性质简化计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$。

练习 5

设 $A$ 为三阶方阵，$|A| = 3$，将 $A$ 的第一行与第三行互换，新行列式值是多少？

提示：行列式的基本性质是计算行列式的重要工具，要熟练掌握这些性质并能灵活运用。