行列式综合练习题

解题思路： 观察行列式的特点，利用性质简化计算。

详细步骤：

1. 观察发现：第三行是第一行的 7 倍，第二行是第一行的 4 倍减去 1

2. 将第一行的-4 倍加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

3. 将第一行的-7 倍加到第三行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{vmatrix}$

4. 第三行是第二行的 2 倍，所以行列式为零。

答案：行列式的值为 0。

解题思路： 按第一行展开，利用递推关系。

详细步骤：

1. 按第一行展开： $|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

2. 继续展开第一个三阶行列式： $= 2 \left( 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \right) - 1 \left( 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right)$

3. $= 2(2(4-1) - 1(2-0)) - 1(1(4-1)) = 2(6-2) - 1(3) = 8 - 3 = 5$

答案：行列式的值为 5。

解题思路： 使用范德蒙德行列式的公式。

详细步骤：

1. $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4$

2. $|V| = \prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_j - x_i)$

3. $= (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)$

4. $= 1 \times 2 \times 3 \times 1 \times 2 \times 1 = 12$

答案：行列式的值为 12。

解题思路： 利用行列式的性质。

详细步骤：

1. $|2A| = 2^3|A| = 8 \times 3 = 24$（n 阶矩阵乘以 k，行列式乘以 k^n）

2. $|A^T| = |A| = 3$（转置不变性）

答案：$|2A| = 24$，$|A^T| = 3$。

解题思路： 利用行列式性质逐步计算。

详细步骤：

1. 交换两行：$|A|$ 变号，得到 $-2$

2. 第三行乘以 2：行列式乘以 2，得到 $-4$

答案：新行列式值为 $-4$。

解题思路： 使用克拉默法则公式。

详细步骤：

1. $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 6 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 1(5+6) - 2(2-12) + 3(-6-30) = 11 + 20 - 108 = -77$

2. $|A_1| = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 6(5+6) - 2(4-4) + 3(-12-10) = 66 + 0 - 66 = 0$

3. $|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(4-4) - 6(2-12) + 3(4-24) = 0 + 60 - 60 = 0$

4. $|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 5 & 4 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 1(10+12) - 2(4-24) + 6(-6-30) = 22 + 40 - 216 = -154$

5. $x = \frac{0}{-77} = 0$，$y = \frac{0}{-77} = 0$，$z = \frac{-154}{-77} = 2$

答案：$x = 0$，$y = 0$，$z = 2$。

解题思路： 使用伴随矩阵法。

详细步骤：

1. $|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ $= 1(-24) - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 1$

2. 计算伴随矩阵： $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

3. $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

答案：$A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$。

解题思路： 使用三阶行列式计算体积。

详细步骤：

1. $V = \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \right|$

2. 按第一行展开： $= \left| 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) \right|$

3. $= \left| 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \right| = |-3 + 12 - 9| = |0| = 0$

答案：体积为 0（三个向量共面）。

解题思路： 利用伴随矩阵的定义和行列式性质。

详细步骤：

1. 由 $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$ 得： $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A|^n$

2. 又 $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A| \cdot |\text{adj}(A)|$

3. 所以 $|A| \cdot |\text{adj}(A)| = |A|^n$

4. 当 $|A| \neq 0$ 时，$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$

5. 当 $|A| = 0$ 时，$\text{adj}(A) = 0$，结论也成立。

答案：证明完成。

解题思路： 分情况讨论，利用行列式性质。

详细步骤：

1. 当 $|A| \neq 0$ 时：

   • 由 $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$ 得 $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A|^n$
   • 又 $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A| \cdot |\text{adj}(A)|$
   • 所以 $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$

2. 当 $|A| = 0$ 时：

   • 如果 $A = 0$，则 $\text{adj}(A) = 0$，$|\text{adj}(A)| = 0 = |A|^{n-1}$
   • 如果 $A \neq 0$，则 $\text{adj}(A) \neq 0$，但 $|\text{adj}(A)| = 0 = |A|^{n-1}$

答案：证明完成。

解题思路： 利用行列式的乘法性质和逆矩阵性质。

详细步骤：

1. $|A^2| = |A|^2 = 2^2 = 4$

2. $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2}$

答案：$|A^2| = 4$，$|A^{-1}| = \frac{1}{2}$。

解题思路： 利用行列式的乘法性质和转置性质。

详细步骤：

1. $|A^T A| = |A^T| \cdot |A|$

2. $|A^T| = |A| = 3$

3. 所以 $|A^T A| = 3 \times 3 = 9$

答案：$|A^T A| = 9$。

解题思路： 利用行列式的线性性质。

详细步骤：

1. 每一行乘以 2，相当于矩阵乘以 2

2. $|2A| = 2^3|A| = 8 \times 1 = 8$

答案：新行列式值为 8。

解题思路： 利用行列式的性质和线性相关性。

详细步骤：

1. 设每一行元素之和为 $s$

2. 将除第一行外的所有行都加到第一行，得到： $\begin{vmatrix} s & s & \cdots & s \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

3. 提取第一行的公因子 $s$： $s \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

4. 如果 $s = 0$，则行列式为零

5. 如果 $s \neq 0$，则第一行全为 1，其他行可以通过行变换得到相同的行，所以行列式为零

答案：证明完成。

解题思路： 利用伴随矩阵的定义和行列式性质。

详细步骤：

1. 由 $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$ 得： $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A|^n$

2. 又 $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A| \cdot |\text{adj}(A)|$

3. 所以 $|A| \cdot |\text{adj}(A)| = |A|^n$

4. 由于 $|A| \neq 0$，所以 $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$

答案：证明完成。