矩阵的基本概念

矩阵的定义

矩阵是由数构成的矩形数表，通常用大写字母表示。一个 $m \times n$ 矩阵可以表示为：

其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

矩阵的类型

1. 方阵

行数与列数相等的矩阵称为方阵，即 $m = n$。

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

2. 零矩阵

所有元素都为 0 的矩阵称为零矩阵，记作 $O$ 或 $0$。

例子： $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 单位矩阵

主对角线元素为 1，其他元素为 0 的方阵称为单位矩阵，记作 $I$ 或 $E$。

例子： $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. 对角矩阵

除主对角线外，其他元素都为 0 的方阵称为对角矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. 对称矩阵

满足 $A^T = A$ 的方阵称为对称矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

6. 反对称矩阵

满足 $A^T = -A$ 的方阵称为反对称矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix}$

7. 上三角矩阵和下三角矩阵

主对角线以下（上）的元素都为 0 的方阵称为上三角矩阵（下三角矩阵）。

例子： 上三角矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

下三角矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

矩阵的基本运算

1. 矩阵加法

两个同型矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 和 $B = (b_{ij})_{m \times n}$ 的和定义为：

$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

2. 数乘

数 $k$ 与矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 的乘积定义为：

$kA = (ka_{ij})_{m \times n}$

例子： $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

3. 矩阵乘法

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{n \times p}$，则 $AB$ 是一个 $m \times p$ 矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为：

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

4. 矩阵转置

矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 的转置矩阵 $A^T$ 是一个 $n \times m$ 矩阵，定义为：

$A^T = (a_{ji})_{n \times m}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

矩阵运算的性质

加法性质

• 交换律：$A + B = B + A$
• 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
• 零矩阵：$A + O = O + A = A$

数乘性质

• 分配律：$k(A + B) = kA + kB$
• 结合律：$(kl)A = k(lA)$
• 单位元：$1 \cdot A = A$

乘法性质

• 结合律：$(AB)C = A(BC)$
• 分配律：$A(B + C) = AB + AC$，$(A + B)C = AC + BC$
• 单位矩阵：$AI = IA = A$
• 零矩阵：$AO = OA = O$

注意：矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$。

转置性质

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

练习题

练习 1

判断下列矩阵的类型：

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
• $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

练习 2

计算 $A + B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

练习 3

计算 $2A - 3B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

练习 4

计算 $AB$ 和 $BA$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

练习 5

验证 $(AB)^T = B^T A^T$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

提示：矩阵的基本概念是线性代数的基础，要熟练掌握各种类型的矩阵和基本运算。