逆矩阵与伴随矩阵

逆矩阵

逆矩阵是矩阵理论中的重要概念，它在解线性方程组、矩阵分解等方面有重要应用。

逆矩阵的定义

对于 $n$ 阶方阵 $A$，如果存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得：

$AB = BA = I$

则称 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。

注意：

• 只有方阵才可能有逆矩阵
• 如果矩阵 $A$ 可逆，则其逆矩阵是唯一的
• 不是所有方阵都有逆矩阵

可逆的充要条件

定理：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $|A| \neq 0$。

证明：

• 充分性：如果 $|A| \neq 0$，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
• 必要性：如果 $A$ 可逆，则 $|A| \cdot |A^{-1}| = |I| = 1$，所以 $|A| \neq 0$

逆矩阵的性质

1. 唯一性：如果 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一
2. 双重逆：$(A^{-1})^{-1} = A$
3. 乘积逆：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（如果 $A, B$ 都可逆）
4. 转置逆：$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
5. 数乘逆：$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k \neq 0$）

逆矩阵的求法

方法 1：伴随矩阵法

公式：如果 $|A| \neq 0$，则：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

例子： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：

1. $|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0$，所以 $A$ 可逆
2. $A_{11} = 4$，$A_{12} = -3$，$A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$
3. $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
4. $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

方法 2：初等变换法

步骤：

1. 构造增广矩阵 $[A|I]$
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将 $A$ 化为单位矩阵
3. 此时 $I$ 的位置就是 $A^{-1}$

例子： 用初等变换法求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 3 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$R_2 - 3R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & -2 & | & -3 & 1 \end{pmatrix}$

$R_2 \times (-\frac{1}{2})$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

$R_1 - 2R_2$： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -2 & 1 \\ 0 & 1 & | & 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

伴随矩阵

伴随矩阵是求逆矩阵的重要工具，它提供了逆矩阵的显式公式。

伴随矩阵的定义

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则称矩阵：

为 $A$ 的伴随矩阵。

注意：伴随矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $A_{ji}$，即代数余子式的转置。

伴随矩阵的性质

1. 基本关系：$AA^* = A^*A = |A|I$
2. 逆矩阵公式：如果 $|A| \neq 0$，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
3. 转置性质：$(A^*)^T = (A^T)^*$
4. 数乘性质：$(kA)^* = k^{n-1}A^*$

伴随矩阵的计算

步骤：

1. 计算每个元素的代数余子式
2. 按转置位置排列

例子： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ 的伴随矩阵。

解：

1. 计算各元素的代数余子式：

   • $A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24$
   • $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20$
   • $A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5$
   • $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18$
   • $A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15$
   • $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4$
   • $A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5$
   • $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4$
   • $A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

2. 按转置位置排列： $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

分块矩阵的逆

分块对角矩阵

定理：如果 $A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$，且 $A_1, A_2$ 都可逆，则：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 \\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix}$

一般分块矩阵

定理：对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，如果 $A$ 可逆，则：

$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}$

逆矩阵的应用

解线性方程组

方法：对于线性方程组 $AX = B$，如果 $A$ 可逆，则：

$X = A^{-1}B$

例子： 解方程组 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}$

解：

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$b = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$
2. $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$
3. $x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$
4. 所以 $x = -3$，$y = 4$

矩阵方程

方法：对于矩阵方程 $AX = B$，如果 $A$ 可逆，则：

$X = A^{-1}B$

例子： 解矩阵方程 $AX = B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

解：

1. $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$
2. $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$
3. $= \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

练习题

练习 1

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 是否可逆，若可逆求其逆矩阵。

练习 2

用初等变换法求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

练习 3

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ 的伴随矩阵。

练习 4

解矩阵方程 $AX = B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

练习 5

证明：如果 $A$ 是可逆矩阵，则 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$。

提示：逆矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的重要概念，要熟练掌握它们的定义、性质和计算方法。