初等变换与矩阵秩

初等变换

初等行变换

对矩阵进行以下三种变换称为初等行变换：

1. 交换两行：将第 $i$ 行与第 $j$ 行互换，记作 $R_i \leftrightarrow R_j$
2. 数乘某行：将第 $i$ 行乘以非零常数 $k$，记作 $R_i \times k$
3. 倍加变换：将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，记作 $R_i + kR_j$

初等列变换

对矩阵进行以下三种变换称为初等列变换：

1. 交换两列：将第 $i$ 列与第 $j$ 列互换，记作 $C_i \leftrightarrow C_j$
2. 数乘某列：将第 $i$ 列乘以非零常数 $k$，记作 $C_i \times k$
3. 倍加变换：将第 $j$ 列的 $k$ 倍加到第 $i$ 列，记作 $C_i + kC_j$

初等变换的性质

1. 可逆性：每种初等变换都有其逆变换
2. 保持秩：初等变换不改变矩阵的秩
3. 保持等价性：初等变换保持矩阵的等价关系

初等矩阵

初等矩阵的定义

对单位矩阵 $I$ 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

初等矩阵的类型

1. 交换型初等矩阵

将单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换得到的矩阵：

2. 数乘型初等矩阵

将单位矩阵的第 $i$ 行乘以非零常数 $k$ 得到的矩阵：

3. 倍加型初等矩阵

将单位矩阵的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行得到的矩阵：

初等矩阵的性质

1. 可逆性：所有初等矩阵都是可逆的

2. 逆矩阵：

   • $E_{ij}^{-1} = E_{ij}$
   • $E_i(k)^{-1} = E_i(\frac{1}{k})$
   • $E_{ij}(k)^{-1} = E_{ij}(-k)$

3. 左乘作用：用初等矩阵左乘矩阵 $A$，相当于对 $A$ 进行相应的初等行变换

4. 右乘作用：用初等矩阵右乘矩阵 $A$，相当于对 $A$ 进行相应的初等列变换

矩阵的秩

矩阵秩的定义

矩阵 $A$ 的秩是指矩阵中最大线性无关行（或列）的个数，记作 $r(A)$ 或 $\text{rank}(A)$。

等价定义：

• 矩阵 $A$ 的秩等于其最高阶非零子式的阶数
• 矩阵 $A$ 的秩等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数

矩阵秩的性质

1. 基本性质：

   • $0 \leq r(A) \leq \min(m, n)$（$A$ 是 $m \times n$ 矩阵）
   • $r(A) = 0$ 当且仅当 $A = O$
   • $r(A) = n$ 当且仅当 $A$ 是满秩矩阵

2. 运算性质：

   • $r(A + B) \leq r(A) + r(B)$
   • $r(AB) \leq \min(r(A), r(B))$
   • $r(A^T) = r(A)$
   • $r(kA) = r(A)$（$k \neq 0$）

3. 初等变换性质：初等变换不改变矩阵的秩

矩阵秩的计算方法

方法一：子式法

1. 从最高阶开始，计算矩阵的子式
2. 找到第一个非零子式，其阶数就是矩阵的秩

方法二：初等变换法

1. 对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形
2. 计算非零行的个数

例子：求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的秩

解： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_2 - 2R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_3 - R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

$R_2 \leftrightarrow R_3$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

非零行有 2 行，所以 $r(A) = 2$。

矩阵等价

矩阵等价的定义

如果矩阵 $A$ 可以通过有限次初等变换化为矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A \sim B$。

矩阵等价的充要条件

定理：两个同型矩阵 $A$ 和 $B$ 等价的充要条件是它们的秩相等。

等价标准形

任何矩阵都可以通过初等变换化为以下形式：

其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，$r$ 是矩阵的秩。

分块矩阵

分块矩阵的定义

将矩阵按行和列分割成若干个子矩阵，这些子矩阵称为分块矩阵。

例子：

其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 都是子矩阵。

分块矩阵的运算

1. 分块矩阵的加法

设 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，则：

$A + B = \begin{pmatrix} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} \end{pmatrix}$

2. 分块矩阵的数乘

$kA = \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} \\ kA_{21} & kA_{22} \end{pmatrix}$

3. 分块矩阵的乘法

设 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，则：

$AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}$

注意：分块矩阵的乘法要求相应的子矩阵能够相乘。

特殊分块矩阵

1. 对角分块矩阵

2. 上三角分块矩阵

3. 下三角分块矩阵

分块矩阵的行列式

对于 $2 \times 2$ 分块矩阵 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$：

1. 如果 $A_{11}$ 可逆，则： $|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}|$

2. 如果 $A_{22}$ 可逆，则： $|A| = |A_{22}| \cdot |A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}|$

3. 如果 $A_{12} = O$ 或 $A_{21} = O$，则： $|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22}|$

练习题

练习 1

写出将矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 第一行与第二行互换的初等矩阵。

练习 2

用初等行变换将矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 化为行阶梯形。

练习 3

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的秩。

练习 4

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ 是否等价。

练习 5

计算分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & C \end{pmatrix}$ 的行列式，其中 $A, C$ 都是可逆矩阵。

练习 6

证明：如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $r(A) \leq \min(m, n)$。