矩阵综合练习题

解题思路： 使用矩阵加法定义，对应元素相加。

详细步骤：

$A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+1 & 3+0 \\ 4+1 & 5+2 & 6+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

答案：$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

解题思路： 先计算数乘，再进行减法运算。

详细步骤：

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad 3B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

答案：$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用矩阵乘法定义，验证矩阵乘法不满足交换律。

详细步骤：

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

答案：$AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

注意：$AB \neq BA$，验证了矩阵乘法不满足交换律。

解题思路： 将矩阵的行列互换。

详细步骤：

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

答案：$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

解题思路： 先计算行列式，再求逆矩阵。

详细步骤：

1. $|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$，可逆

2. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 4$，$A_{12} = -3$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$

3. $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

4. $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

答案：$A$ 可逆，$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用伴随矩阵法求逆矩阵。

详细步骤：

1. $|A| = 1 \neq 0$，可逆

2. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 1$，$A_{12} = 0$，$A_{13} = 0$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$，$A_{23} = 0$
   • $A_{31} = 1$，$A_{32} = -2$，$A_{33} = 1$

3. $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

答案：$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用初等行变换法求逆矩阵。

详细步骤：

1. 构造增广矩阵：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. $R_1 \leftrightarrow R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 2 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & -1 & | & 1 & -2 \end{pmatrix}$

4. $R_2 \times (-1)$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$

5. $R_1 - R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$

答案：$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

解题思路： 计算各元素的代数余子式。

详细步骤：

1. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 4$，$A_{12} = -3$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$

2. 按转置位置排列：$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

答案：$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

解题思路： 通过初等变换化为行阶梯形，计算非零行数。

详细步骤：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_2 - 2R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_3 - R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

$R_2 \leftrightarrow R_3$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

非零行有 2 行，所以 $r(A) = 2$。

答案：$r(A) = 2$

解题思路： 通过初等变换化为行阶梯形，计算非零行数。

详细步骤：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_2 - 2R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$R_3 - R_1$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

$R_2 \leftrightarrow R_3$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

非零行有 2 行，所以 $r(A) = 2$。

答案：$r(A) = 2$

解题思路： 计算两个矩阵的秩，判断是否相等。

详细步骤：

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$|A| = -2 \neq 0$，所以 $r(A) = 2$

2. $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$，$B = 2A$，所以 $r(B) = r(A) = 2$

3. 两个矩阵的秩相等，因此等价。

答案：$A$ 与 $B$ 等价

解题思路： 利用分块矩阵的行列式性质。

详细步骤：

对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & C \end{pmatrix}$，其中 $A_{12} = O$，所以：

$|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22}| = |A| \cdot |C|$

答案：$\left|\begin{pmatrix} A & B \\ O & C \end{pmatrix}\right| = |A| \cdot |C|$

解题思路： 先求 $A^{-1}$，再计算 $X = A^{-1}B$。

详细步骤：

1. $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

2. $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

3. $= \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

答案：$X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

解题思路： 将方程组写成矩阵形式，用逆矩阵求解。

详细步骤：

1. 将方程组写成矩阵形式：$AX = b$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

2. $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

3. $X = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

答案：$x = -3$，$y = 4$

解题思路： 利用幂等矩阵的性质和秩的性质。

详细步骤：

1. 因为 $A^2 = A$，所以 $A$ 是幂等矩阵

2. 对于幂等矩阵，有 $r(A) = \text{tr}(A)$

3. 这是因为幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1，且特征值的个数等于矩阵的秩

4. 而矩阵的迹等于特征值之和，所以 $r(A) = \text{tr}(A)$

答案：证明完成