向量的基本概念

向量的定义

n 维向量

定义：n 维向量是 n 个有序实数的数组，记作： $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$

其中 $a_i$ 称为向量的第 $i$ 个分量。

例子：

• 二维向量：$\vec{a} = (1, 2)$
• 三维向量：$\vec{b} = (1, 2, 3)$
• n 维向量：$\vec{c} = (c_1, c_2, \dots, c_n)$

向量的几何意义

• 二维向量：平面上的有向线段
• 三维向量：空间中的有向线段
• n 维向量：n 维空间中的有向线段

向量的基本运算

向量加法

定义：设 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，则： $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$

性质：

• 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• 零向量：$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

向量数乘

定义：设 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，$k$ 为实数，则： $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, \dots, ka_n)$

性质：

• 分配律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• 结合律：$(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$
• 单位元：$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

向量减法

定义： $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n)$

线性组合

线性组合的定义

定义：设 $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m$ 是 n 维向量，$k_1, k_2, \dots, k_m$ 是实数，则： $k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m$

称为向量 $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m$ 的线性组合。

例子： 设 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则： $2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (2, 4) + (9, 12) = (11, 16)$

线性组合的性质

1. 封闭性：向量的线性组合仍然是向量
2. 线性性：$(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$
3. 分配性：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

向量的相等

定义：两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ 相等，当且仅当： $a_i = b_i \quad (i = 1, 2, \dots, n)$

零向量

定义：所有分量都为 0 的向量称为零向量，记作 $\vec{0}$： $\vec{0} = (0, 0, \dots, 0)$

性质：

• $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
• $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$

练习题

练习 1

计算向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (4, 5, 6)$ 的和。

练习 2

计算 $2\vec{a} - 3\vec{b}$，其中 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$。

练习 3

判断向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (2, 4, 6)$ 是否相等。

练习 4

计算线性组合 $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$，其中： $\vec{a} = (1, 0, 1), \quad \vec{b} = (0, 1, 1), \quad \vec{c} = (1, 1, 0)$

练习 5

证明：对于任意向量 $\vec{a}$，有 $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$。