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线性相关与线性无关

线性相关与线性无关

线性相关的定义

定义：设 a⃗1,a⃗2,…,a⃗m\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m 是 n 维向量组，如果存在不全为零的实数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \dots, k_m，使得： k1a⃗1+k2a⃗2+⋯+kma⃗m=0⃗k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0}

则称向量组 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 线性相关。

线性无关的定义

定义：设 a⃗1,a⃗2,…,a⃗m\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m 是 n 维向量组，如果只有当 k1=k2=⋯=km=0k_1 = k_2 = \dots = k_m = 0 时，才有： k1a⃗1+k2a⃗2+⋯+kma⃗m=0⃗k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0}

则称向量组 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 线性无关。

线性相关性的等价条件

定理：向量组 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。

证明：

  • 充分性：如果 a⃗1=k2a⃗2+⋯+kma⃗m\vec{a}_1 = k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m，则： (−1)a⃗1+k2a⃗2+⋯+kma⃗m=0⃗(-1)\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0} 其中系数不全为零，所以线性相关。

  • 必要性：如果线性相关，则存在不全为零的 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \dots, k_m 使得： k1a⃗1+k2a⃗2+⋯+kma⃗m=0⃗k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0} 假设 k1≠0k_1 \neq 0，则： a⃗1=−k2k1a⃗2−⋯−kmk1a⃗m\vec{a}_1 = -\frac{k_2}{k_1}\vec{a}_2 - \dots - \frac{k_m}{k_1}\vec{a}_m

线性相关性的判断方法

方法一：行列式法

定理：n 个 n 维向量线性相关的充要条件是它们构成的行列式为零。

例子： 判断向量组 {(1,2),(3,4)}\{(1,2), (3,4)\} 的线性相关性。

解： ∣1234∣=4−6=−2≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0

所以向量组线性无关。

方法二：矩阵秩法

定理：向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的秩小于向量的个数。

步骤：

  1. 将向量作为矩阵的行（或列）
  2. 计算矩阵的秩
  3. 比较秩与向量个数

例子： 判断向量组 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\} 的线性相关性。

解： 构造矩阵： (123246101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

通过初等变换化为行阶梯形： (1230000−2−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}

秩为 2，小于向量个数 3，所以线性相关。

极大线性无关组

极大线性无关组的定义

定义：向量组的一个子集，如果：

  1. 这个子集线性无关
  2. 向量组中任意一个向量都可以由这个子集线性表示

则称这个子集为向量组的一个极大线性无关组。

极大线性无关组的性质

定理：

  1. 向量组的任意极大线性无关组所含向量的个数相同
  2. 向量组的任意两个极大线性无关组等价

极大线性无关组的求法

步骤：

  1. 将向量组按列排成矩阵
  2. 用初等行变换将矩阵化为行阶梯形
  3. 取行阶梯形中非零行对应的原向量

例子： 求向量组 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\} 的极大线性无关组。

解： 构造矩阵： (123246101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

化为行阶梯形： (1230000−2−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}

取第 1 行和第 3 行对应的原向量：{(1,2,3),(1,0,1)}\{(1,2,3), (1,0,1)\}

向量组的秩

向量组秩的定义

定义：向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。

向量组秩的性质

  1. 秩的不等式：r({a⃗1,a⃗2,…,a⃗m})≤min⁡(m,n)r(\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\}) \leq \min(m, n)
  2. 秩的传递性：如果向量组 A 可以由向量组 B 线性表示，则 r(A)≤r(B)r(A) \leq r(B)
  3. 秩的加法：r(A∪B)≤r(A)+r(B)r(A \cup B) \leq r(A) + r(B)

向量组秩的计算

方法：

  1. 将向量组按列排成矩阵
  2. 计算矩阵的秩
  3. 矩阵的秩就是向量组的秩

练习题

练习 1

判断向量组 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\} 的线性相关性。

参考答案

解题思路： 使用矩阵秩法判断线性相关性。

详细步骤：

  1. 构造矩阵： (123246101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. 化为行阶梯形： R2−2R1R_2 - 2R_1：(123000101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    R3−R1R_3 - R_1：(1230000−2−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}

  3. 矩阵的秩为 2，小于向量个数 3，所以线性相关。

答案：向量组线性相关

练习 2

判断向量组 {(1,2),(3,4)}\{(1,2), (3,4)\} 的线性相关性。

参考答案

解题思路： 使用行列式法判断线性相关性。

详细步骤：

∣1234∣=1×4−2×3=4−6=−2≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0

行列式不为零，所以向量组线性无关。

答案：向量组线性无关

练习 3

求向量组 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}\{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)\} 的极大线性无关组。

参考答案

解题思路： 使用初等变换法求极大线性无关组。

详细步骤：

  1. 构造矩阵： (123246101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. 化为行阶梯形： R2−2R1R_2 - 2R_1：(123000101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    R3−R1R_3 - R_1：(1230000−2−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}

  3. 取非零行对应的原向量：{(1,2,3),(1,0,1)}\{(1,2,3), (1,0,1)\}

答案：极大线性无关组为 {(1,2,3),(1,0,1)}\{(1,2,3), (1,0,1)\}

练习 4

求向量组 {(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)}\{(1,2,3), (2,4,6), (3,6,9)\} 的秩。

参考答案

解题思路： 计算矩阵的秩。

详细步骤：

  1. 构造矩阵： (123246369)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}

  2. 化为行阶梯形： R2−2R1R_2 - 2R_1：(123000369)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}

    R3−3R1R_3 - 3R_1：(123000000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  3. 非零行只有 1 行，所以秩为 1。

答案：向量组的秩为 1

练习 5

证明：如果向量组 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 线性无关，则其任意子集也线性无关。

参考答案

解题思路： 利用线性无关的定义和反证法。

详细步骤：

  1. 假设存在一个子集线性相关
  2. 则存在不全为零的系数使得该子集的线性组合为零
  3. 可以构造原向量组的一个非零线性组合为零
  4. 这与原向量组线性无关矛盾
  5. 所以任意子集都线性无关

答案：证明完成