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向量空间、基与维数

向量空间

向量空间的定义

定义：设 VV 是一个非空集合，如果在 VV 上定义了加法和数乘运算，且满足以下 8 条公理，则称 VV 为向量空间：

加法公理：

  1. 结合律：(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})
  2. 交换律：a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
  3. 零元素：存在 0⃗∈V\vec{0} \in V，使得 a⃗+0⃗=a⃗\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}
  4. 负元素：对每个 a⃗∈V\vec{a} \in V，存在 −a⃗∈V-\vec{a} \in V，使得 a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

数乘公理： 5. 分配律：k(a⃗+b⃗)=ka⃗+kb⃗k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} 6. 分配律：(k+l)a⃗=ka⃗+la⃗(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} 7. 结合律：(kl)a⃗=k(la⃗)(kl)\vec{a} = k(l\vec{a}) 8. 单位元：1⋅a⃗=a⃗1 \cdot \vec{a} = \vec{a}

常见的向量空间

  1. Rn\mathbb{R}^n：n 维实向量空间
  2. Cn\mathbb{C}^n：n 维复向量空间
  3. 多项式空间：次数不超过 n 的多项式集合
  4. 函数空间：连续函数集合

基与维数

基的定义

定义：向量空间 VV 的一个基是 VV 中的一个线性无关的向量组，且 VV 中任意向量都可以由这个向量组线性表示。

基的性质

定理：

  1. 向量空间的任意两个基所含向量的个数相同
  2. 向量空间的任意基都是极大线性无关组
  3. 向量空间的任意向量都可以唯一地表示为基的线性组合

维数的定义

定义：向量空间 VV 的维数等于其任意一个基所含向量的个数，记作 dim⁡V\dim V。

标准基

定义：Rn\mathbb{R}^n 的标准基为： e⃗1=(1,0,…,0),e⃗2=(0,1,…,0),…,e⃗n=(0,0,…,1)\vec{e}_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad \vec{e}_2 = (0, 1, \dots, 0), \quad \dots, \quad \vec{e}_n = (0, 0, \dots, 1)

性质：

  • dim⁡Rn=n\dim \mathbb{R}^n = n
  • 任意向量 a⃗=(a1,a2,…,an)\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) 可以表示为： a⃗=a1e⃗1+a2e⃗2+⋯+ane⃗n\vec{a} = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 + \dots + a_n\vec{e}_n

坐标与坐标变换

坐标的定义

定义：设 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 是向量空间 VV 的一个基，对于任意向量 v⃗∈V\vec{v} \in V，如果： v⃗=x1e⃗1+x2e⃗2+⋯+xne⃗n\vec{v} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n

则称 (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dots, x_n) 为向量 v⃗\vec{v} 在基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 下的坐标。

坐标变换

问题：设向量 v⃗\vec{v} 在基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 下的坐标为 (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dots, x_n)，在基 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗n}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n\} 下的坐标为 (y1,y2,…,yn)(y_1, y_2, \dots, y_n)，求坐标之间的关系。

解：

  1. 设基变换矩阵为 PP，即： (f⃗1,f⃗2,…,f⃗n)=(e⃗1,e⃗2,…,e⃗n)P(\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n) = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n)P

  2. 则坐标变换公式为： (x1x2⋮xn)=P(y1y2⋮yn)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

过渡矩阵

定义：设 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 和 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗n}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n\} 是向量空间 VV 的两个基，如果： (f⃗1,f⃗2,…,f⃗n)=(e⃗1,e⃗2,…,e⃗n)P(\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n) = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n)P

则称矩阵 PP 为从基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 到基 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗n}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n\} 的过渡矩阵。

性质：

  1. 过渡矩阵是可逆矩阵
  2. 从基 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗n}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_n\} 到基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 的过渡矩阵是 P−1P^{-1}

子空间

子空间的定义

定义：向量空间 VV 的一个非空子集 WW 称为 VV 的子空间，如果 WW 对加法和数乘运算封闭。

子空间的判定

定理：向量空间 VV 的非空子集 WW 是子空间的充要条件是：

  1. 对任意 a⃗,b⃗∈W\vec{a}, \vec{b} \in W，有 a⃗+b⃗∈W\vec{a} + \vec{b} \in W
  2. 对任意 a⃗∈W\vec{a} \in W 和任意实数 kk，有 ka⃗∈Wk\vec{a} \in W

子空间的基与维数

定理：子空间的任意基都可以扩充为整个向量空间的基。

推论：如果 WW 是向量空间 VV 的子空间，则 dim⁡W≤dim⁡V\dim W \leq \dim V。

练习题

练习 1

求 R3\mathbb{R}^3 的标准基。

参考答案

解题思路： 使用标准基的定义。

详细步骤：

R3\mathbb{R}^3 的标准基为： e⃗1=(1,0,0),e⃗2=(0,1,0),e⃗3=(0,0,1)\vec{e}_1 = (1, 0, 0), \quad \vec{e}_2 = (0, 1, 0), \quad \vec{e}_3 = (0, 0, 1)

答案：e⃗1=(1,0,0)\vec{e}_1 = (1, 0, 0)，e⃗2=(0,1,0)\vec{e}_2 = (0, 1, 0)，e⃗3=(0,0,1)\vec{e}_3 = (0, 0, 1)

练习 2

判断集合 {(x,y,z)∈R3:x+y+z=0}\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\} 是否为 R3\mathbb{R}^3 的子空间。

参考答案

解题思路： 使用子空间的判定定理。

详细步骤：

  1. 设 W={(x,y,z)∈R3:x+y+z=0}W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}

  2. 对任意 a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2)∈W\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) \in W：

    • x1+y1+z1=0x_1 + y_1 + z_1 = 0
    • x2+y2+z2=0x_2 + y_2 + z_2 = 0
    • a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)
    • (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = 0

  3. 对任意 a⃗=(x,y,z)∈W\vec{a} = (x, y, z) \in W 和任意实数 kk：

    • x+y+z=0x + y + z = 0
    • ka⃗=(kx,ky,kz)k\vec{a} = (kx, ky, kz)
    • kx+ky+kz=k(x+y+z)=0kx + ky + kz = k(x + y + z) = 0

  4. 所以 WW 是子空间。

答案：是子空间

练习 3

求向量 v⃗=(1,2,3)\vec{v} = (1, 2, 3) 在基 {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}\{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\} 下的坐标。

参考答案

解题思路： 设坐标，建立线性方程组求解。

详细步骤：

  1. 设 v⃗=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)\vec{v} = x(1, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 1, 1)

  2. 得到方程组： {x+y=1x+z=2y+z=3\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}

  3. 解得：x=0x = 0，y=1y = 1，z=2z = 2

答案：坐标为 (0,1,2)(0, 1, 2)

练习 4

求从基 {(1,0),(0,1)}\{(1, 0), (0, 1)\} 到基 {(1,1),(1,−1)}\{(1, 1), (1, -1)\} 的过渡矩阵。

参考答案

解题思路： 将新基表示为旧基的线性组合。

详细步骤：

  1. (1,1)=1⋅(1,0)+1⋅(0,1)(1, 1) = 1 \cdot (1, 0) + 1 \cdot (0, 1)

  2. (1,−1)=1⋅(1,0)+(−1)⋅(0,1)(1, -1) = 1 \cdot (1, 0) + (-1) \cdot (0, 1)

  3. 过渡矩阵为： P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

答案：P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

练习 5

证明：向量空间的任意两个基所含向量的个数相同。

参考答案

解题思路： 利用线性无关和线性表示的性质。

详细步骤：

  1. 设 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 和 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗m}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\} 是两个基

  2. 因为 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 是基，所以 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗m}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\} 可以由它线性表示

  3. 因为 {f⃗1,f⃗2,…,f⃗m}\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\} 线性无关，所以 m≤nm \leq n

  4. 同理，n≤mn \leq m

  5. 所以 m=nm = n

答案：证明完成