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内积与正交化

内积

内积的定义

定义：设 a⃗=(a1,a2,…,an)\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)，b⃗=(b1,b2,…,bn)\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) 是 n 维向量，则： a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+⋯+anbn=∑i=1naibi\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i

称为向量 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 的内积（或点积）。

内积的性质

  1. 对称性：a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
  2. 线性性：(ka⃗)⋅b⃗=k(a⃗⋅b⃗)(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})
  3. 分配律：(a⃗+b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}
  4. 正定性：a⃗⋅a⃗≥0\vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0，且等号成立当且仅当 a⃗=0⃗\vec{a} = \vec{0}

向量的长度

定义：向量 a⃗\vec{a} 的长度（或模）定义为： ∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗=a12+a22+⋯+an2|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}

向量的夹角

定义：两个非零向量 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 的夹角 θ\theta 满足： cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

正交向量

正交的定义

定义：如果两个向量 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 的内积为零，即： a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

则称向量 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 正交，记作 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}。

正交向量组的性质

定理：正交向量组线性无关。

证明：设 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 是正交向量组，且： k1a⃗1+k2a⃗2+⋯+kma⃗m=0⃗k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \dots + k_m\vec{a}_m = \vec{0}

对任意 ii，与 a⃗i\vec{a}_i 作内积： k1a⃗1⋅a⃗i+k2a⃗2⋅a⃗i+⋯+kma⃗m⋅a⃗i=0k_1\vec{a}_1 \cdot \vec{a}_i + k_2\vec{a}_2 \cdot \vec{a}_i + \dots + k_m\vec{a}_m \cdot \vec{a}_i = 0

由于正交性，只有 kia⃗i⋅a⃗i=0k_i\vec{a}_i \cdot \vec{a}_i = 0，所以 ki=0k_i = 0。

施密特正交化

施密特正交化方法

目的：将线性无关的向量组 {a⃗1,a⃗2,…,a⃗m}\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_m\} 化为正交向量组 {b⃗1,b⃗2,…,b⃗m}\{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_m\}。

步骤：

  1. b⃗1=a⃗1\vec{b}_1 = \vec{a}_1
  2. b⃗2=a⃗2−a⃗2⋅b⃗1b⃗1⋅b⃗1b⃗1\vec{b}_2 = \vec{a}_2 - \frac{\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1}\vec{b}_1
  3. b⃗3=a⃗3−a⃗3⋅b⃗1b⃗1⋅b⃗1b⃗1−a⃗3⋅b⃗2b⃗2⋅b⃗2b⃗2\vec{b}_3 = \vec{a}_3 - \frac{\vec{a}_3 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1}\vec{b}_1 - \frac{\vec{a}_3 \cdot \vec{b}_2}{\vec{b}_2 \cdot \vec{b}_2}\vec{b}_2
  4. 以此类推…

一般公式： b⃗i=a⃗i−∑j=1i−1a⃗i⋅b⃗jb⃗j⋅b⃗jb⃗j\vec{b}_i = \vec{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\vec{a}_i \cdot \vec{b}_j}{\vec{b}_j \cdot \vec{b}_j}\vec{b}_j

单位化

定义：将正交向量组 {b⃗1,b⃗2,…,b⃗m}\{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_m\} 单位化，得到标准正交向量组： e⃗i=b⃗i∣b⃗i∣\vec{e}_i = \frac{\vec{b}_i}{|\vec{b}_i|}

正交基

正交基的定义

定义：向量空间 VV 的一个基 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 如果满足： e⃗i⋅e⃗j={1i=j0i≠j\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

则称这个基为标准正交基（或正交基）。

正交基的性质

  1. 唯一性：向量在标准正交基下的坐标等于该向量与基向量的内积
  2. 正交性：基向量两两正交
  3. 单位性：每个基向量的长度都是 1

坐标计算

定理：如果 {e⃗1,e⃗2,…,e⃗n}\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\} 是标准正交基，则向量 v⃗\vec{v} 的坐标为： xi=v⃗⋅e⃗ix_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i

正交矩阵

正交矩阵的定义

定义：如果 n 阶方阵 QQ 满足： QTQ=QQT=IQ^T Q = Q Q^T = I

则称 QQ 为正交矩阵。

正交矩阵的性质

  1. 行列式：∣Q∣=±1|Q| = \pm 1
  2. 逆矩阵：Q−1=QTQ^{-1} = Q^T
  3. 特征值：正交矩阵的特征值的模都是 1
  4. 列向量：正交矩阵的列向量构成标准正交基

正交矩阵的判定

定理：矩阵 QQ 为正交矩阵的充要条件是 QQ 的列向量构成标准正交基。

练习题

练习 1

设 a⃗=(1,2,3),b⃗=(2,1,0)\vec{a} = (1, 2, 3), \vec{b} = (2, 1, 0)，计算 a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}。

参考答案

解题思路： 使用内积的定义，对应分量相乘后求和。

详细步骤：

a⃗⋅b⃗=1×2+2×1+3×0=2+2+0=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 2 + 2 + 0 = 4

答案：a⃗⋅b⃗=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 4

练习 2

计算向量 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3) 的长度。

参考答案

解题思路： 使用向量长度的定义。

详细步骤：

∣a⃗∣=12+22+32=1+4+9=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

答案：∣a⃗∣=14|\vec{a}| = \sqrt{14}

练习 3

用施密特正交化法将 a⃗1=(1,1,0),a⃗2=(1,0,1)\vec{a}_1 = (1, 1, 0), \vec{a}_2 = (1, 0, 1) 正交化。

参考答案

解题思路： 使用施密特正交化公式。

详细步骤：

  1. b⃗1=a⃗1=(1,1,0)\vec{b}_1 = \vec{a}_1 = (1, 1, 0)

  2. b⃗2=a⃗2−a⃗2⋅b⃗1b⃗1⋅b⃗1b⃗1\vec{b}_2 = \vec{a}_2 - \frac{\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1}\vec{b}_1

    • a⃗2⋅b⃗1=1×1+0×1+1×0=1\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1 = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 1
    • b⃗1⋅b⃗1=12+12+02=2\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2
    • b⃗2=(1,0,1)−12(1,1,0)=(0.5,−0.5,1)\vec{b}_2 = (1, 0, 1) - \frac{1}{2}(1, 1, 0) = (0.5, -0.5, 1)

答案：b⃗1=(1,1,0)\vec{b}_1 = (1, 1, 0)，b⃗2=(0.5,−0.5,1)\vec{b}_2 = (0.5, -0.5, 1)

练习 4

判断矩阵 Q=(121212−12)Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} 是否为正交矩阵。

参考答案

解题思路： 验证 QTQ=IQ^T Q = I。

详细步骤：

  1. QT=(121212−12)Q^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

  2. QTQ=(121212−12)(121212−12)Q^T Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

  3. =(12+1212−1212−1212+12)=(1001)=I= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

答案：是正交矩阵

练习 5

求向量 v⃗=(1,2,3)\vec{v} = (1, 2, 3) 在标准正交基 {e⃗1=(1,0,0),e⃗2=(0,1,0),e⃗3=(0,0,1)}\{\vec{e}_1 = (1, 0, 0), \vec{e}_2 = (0, 1, 0), \vec{e}_3 = (0, 0, 1)\} 下的坐标。

参考答案

解题思路： 使用标准正交基的坐标计算公式。

详细步骤：

  1. x1=v⃗⋅e⃗1=1×1+2×0+3×0=1x_1 = \vec{v} \cdot \vec{e}_1 = 1 \times 1 + 2 \times 0 + 3 \times 0 = 1
  2. x2=v⃗⋅e⃗2=1×0+2×1+3×0=2x_2 = \vec{v} \cdot \vec{e}_2 = 1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 2
  3. x3=v⃗⋅e⃗3=1×0+2×0+3×1=3x_3 = \vec{v} \cdot \vec{e}_3 = 1 \times 0 + 2 \times 0 + 3 \times 1 = 3

答案：坐标为 (1,2,3)(1, 2, 3)