向量综合练习题

解题思路： 使用向量加法和减法的定义。

详细步骤：

1. $\vec{a} + \vec{b} = (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)$
2. $\vec{a} - \vec{b} = (1, 2, 3) - (4, 5, 6) = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)$

答案：$\vec{a} + \vec{b} = (5, 7, 9)$，$\vec{a} - \vec{b} = (-3, -3, -3)$

解题思路： 按顺序计算每个数乘和加法运算。

详细步骤：

1. $2\vec{a} = 2(1, 0, 1) = (2, 0, 2)$
2. $3\vec{b} = 3(0, 1, 1) = (0, 3, 3)$
3. $2\vec{a} + 3\vec{b} = (2, 0, 2) + (0, 3, 3) = (2, 3, 5)$
4. $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c} = (2, 3, 5) - (1, 1, 0) = (1, 2, 5)$

答案：$2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c} = (1, 2, 5)$

解题思路： 使用矩阵秩法判断线性相关性。

详细步骤：

1. 构造矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 化为行阶梯形： $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

   $R_3 - R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

3. 矩阵的秩为 2，小于向量个数 3，所以线性相关。

答案：向量组线性相关

解题思路： 使用初等变换法求极大线性无关组。

详细步骤：

1. 构造矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 化为行阶梯形： $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

   $R_3 - R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

3. 取非零行对应的原向量：$\{(1, 2, 3), (1, 0, 1)\}$

答案：极大线性无关组为 $\{(1, 2, 3), (1, 0, 1)\}$

解题思路： 计算矩阵的秩。

详细步骤：

1. 构造矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

2. 化为行阶梯形： $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

   $R_3 - 3R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 非零行只有 1 行，所以秩为 1。

答案：向量组的秩为 1

解题思路： 使用子空间的判定定理。

详细步骤：

1. 设 $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$

2. 对任意 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) \in W$：

   • $x_1 + y_1 + z_1 = 0$
   • $x_2 + y_2 + z_2 = 0$
   • $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$
   • $(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = 0$

3. 对任意 $\vec{a} = (x, y, z) \in W$ 和任意实数 $k$：

   • $x + y + z = 0$
   • $k\vec{a} = (kx, ky, kz)$
   • $kx + ky + kz = k(x + y + z) = 0$

4. 所以 $W$ 是子空间。

答案：是子空间

解题思路： 设坐标，建立线性方程组求解。

详细步骤：

1. 设 $\vec{v} = x(1, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 1, 1)$

2. 得到方程组： $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}$

3. 解得：$x = 0$，$y = 1$，$z = 2$

答案：坐标为 $(0, 1, 2)$

解题思路： 将新基表示为旧基的线性组合。

详细步骤：

1. $(1, 1) = 1 \cdot (1, 0) + 1 \cdot (0, 1)$

2. $(1, -1) = 1 \cdot (1, 0) + (-1) \cdot (0, 1)$

3. 过渡矩阵为： $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

答案：$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用内积的定义，对应分量相乘后求和。

详细步骤：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 2 + 2 + 0 = 4$

答案：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

解题思路： 使用向量长度的定义。

详细步骤：

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

答案：$|\vec{a}| = \sqrt{14}$

解题思路： 使用施密特正交化公式。

详细步骤：

1. $\vec{b}_1 = \vec{a}_1 = (1, 1, 0)$

2. $\vec{b}_2 = \vec{a}_2 - \frac{\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1}\vec{b}_1$

   • $\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1 = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 1$
   • $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2$
   • $\vec{b}_2 = (1, 0, 1) - \frac{1}{2}(1, 1, 0) = (0.5, -0.5, 1)$

答案：$\vec{b}_1 = (1, 1, 0)$，$\vec{b}_2 = (0.5, -0.5, 1)$

解题思路： 验证 $Q^T Q = I$。

详细步骤：

1. $Q^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

2. $Q^T Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

3. $= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

答案：是正交矩阵

解题思路： 使用标准正交基的坐标计算公式。

详细步骤：

1. $x_1 = \vec{v} \cdot \vec{e}_1 = 1 \times 1 + 2 \times 0 + 3 \times 0 = 1$
2. $x_2 = \vec{v} \cdot \vec{e}_2 = 1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 2$
3. $x_3 = \vec{v} \cdot \vec{e}_3 = 1 \times 0 + 2 \times 0 + 3 \times 1 = 3$

答案：坐标为 $(1, 2, 3)$

解题思路： 利用线性无关的定义和反证法。

详细步骤：

1. 假设存在一个子集线性相关
2. 则存在不全为零的系数使得该子集的线性组合为零
3. 可以构造原向量组的一个非零线性组合为零
4. 这与原向量组线性无关矛盾
5. 所以任意子集都线性无关

答案：证明完成

解题思路： 利用线性无关和线性表示的性质。

详细步骤：

1. 设 $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ 和 $\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\}$ 是两个基

2. 因为 $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ 是基，所以 $\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\}$ 可以由它线性表示

3. 因为 $\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, \dots, \vec{f}_m\}$ 线性无关，所以 $m \leq n$

4. 同理，$n \leq m$

5. 所以 $m = n$

答案：证明完成