线性方程组的基本概念

线性方程组的定义

线性方程的定义

定义：含有 n 个未知数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的线性方程是指形如： $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$

的方程，其中 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b$ 都是已知的常数。

线性方程组的定义

定义：含有 n 个未知数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的 m 个线性方程组成的方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

称为线性方程组，其中 $a_{ij}$ 和 $b_i$ 都是已知的常数。

线性方程组的分类

齐次线性方程组

定义：如果线性方程组中所有常数项 $b_i = 0$ ，即：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

则称该方程组为齐次线性方程组。

非齐次线性方程组

定义：如果线性方程组中至少有一个常数项 $b_i \neq 0$ ，则称该方程组为非齐次线性方程组。

矩阵表示

系数矩阵

定义：线性方程组的系数矩阵为：

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

增广矩阵

定义：线性方程组的增广矩阵为：

(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}

矩阵形式

定理：线性方程组可以表示为矩阵形式： $A\vec{x} = \vec{b}$

其中：

$A$ 是系数矩阵
$\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 是未知数向量
$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_m)^T$ 是常数项向量

解的概念

解的定义

定义：如果一组数 $(c_1, c_2, \dots, c_n)$ 代入线性方程组后，使所有方程都成立，则称这组数为该线性方程组的解。

解集

定义：线性方程组所有解的集合称为该方程组的解集。

解的分类

唯一解：方程组有且仅有一个解
无穷多解：方程组有无穷多个解
无解：方程组没有解

线性方程组的等价性

等价方程组的定义

定义：如果两个线性方程组有相同的解集，则称这两个方程组等价。

等价变换

定理：对线性方程组进行以下变换，得到的新方程组与原方程组等价：

交换两个方程的位置
用一个非零常数乘以某个方程
将某个方程的倍数加到另一个方程上

练习题

练习 1

将线性方程组 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$ 写成矩阵形式。

参考答案

解题思路：确定系数矩阵、未知数向量和常数项向量。

详细步骤：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
未知数向量： $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
常数项向量： $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$
矩阵形式： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

答案： $A\vec{x} = \vec{b}$ ，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ ， $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ， $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

练习 2

判断方程组 $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ 是齐次还是非齐次。

参考答案

解题思路：检查常数项是否全为零。

详细步骤：

第一个方程： $x + y = 2$ ，常数项为 2，不为零
第二个方程： $2x + 2y = 4$ ，常数项为 4，不为零
两个方程的常数项都不为零

答案：非齐次线性方程组

练习 3

写出方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases}$ 的增广矩阵。

参考答案

解题思路：将系数和常数项按顺序排列成矩阵。

详细步骤：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$

答案： $(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$

练习 4

判断方程组 $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$ 是否有解。

参考答案

解题思路：分析两个方程的关系。

详细步骤：

第一个方程： $x + y = 1$
第二个方程： $x + y = 2$
两个方程左边相同，右边不同
不存在 $x, y$ 同时满足两个方程

答案：无解

练习 5

证明：齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$ 总是有解。

参考答案

解题思路：利用零向量的性质。

详细步骤：

设 $\vec{x} = \vec{0} = (0, 0, \dots, 0)^T$
代入方程： $A\vec{0} = \vec{0}$
矩阵与零向量相乘等于零向量
所以 $\vec{x} = \vec{0}$ 是齐次方程组的解

答案：证明完成，零解总是存在