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高斯消元法

初等行变换

初等行变换的定义

定义：对矩阵进行以下三种变换称为初等行变换：

  1. 交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
  2. 数乘：用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行
  3. 倍加：将矩阵的某一行的 k 倍加到另一行上

初等行变换的性质

定理：初等行变换不改变矩阵的秩。

证明：

  • 交换两行：不改变线性相关性
  • 数乘：不改变线性相关性
  • 倍加：不改变线性相关性

初等行变换的矩阵表示

定理：初等行变换等价于左乘初等矩阵。

初等矩阵：

  1. 交换矩阵：EijE_{ij} 表示交换第 i 行和第 j 行的矩阵
  2. 数乘矩阵：Ei(k)E_i(k) 表示将第 i 行乘以 k 的矩阵
  3. 倍加矩阵：Eij(k)E_{ij}(k) 表示将第 j 行的 k 倍加到第 i 行的矩阵

高斯消元法

高斯消元法的基本思想

思想：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。

行阶梯形矩阵

定义：满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：

  1. 零行（全为零的行）在非零行的下方
  2. 每个非零行的第一个非零元素（称为主元）在上一行主元的右边
  3. 主元下方的元素都是零

例子：

(123401230001)\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

高斯消元法的步骤

步骤：

  1. 前向消元：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形
  2. 回代求解：从最后一行开始，逐行求解未知数

高斯消元法的例子

例 1：用高斯消元法解方程组： {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}

解：

  1. 写出增广矩阵：

    (1116231131−124)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)

  2. 前向消元：

    • R2−2R1R_2 - 2R_1：(111601−111−124)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)
    • R3−R1R_3 - R_1：(111601−110−21−2)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right)
    • R3+2R2R_3 + 2R_2：(111601−1100−10)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)

  3. 回代求解：

    • 从第三行：−z=0-z = 0，所以 z=0z = 0
    • 从第二行：y−z=1y - z = 1，所以 y=1y = 1
    • 从第一行：x+y+z=6x + y + z = 6，所以 x=5x = 5

  4. 解：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

高斯-若尔当消元法

若尔当消元法的思想

思想：在行阶梯形的基础上，进一步化为简化行阶梯形（若尔当标准形）。

简化行阶梯形矩阵

定义：满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵：

  1. 是行阶梯形矩阵
  2. 每个主元都是 1
  3. 主元所在列的其他元素都是 0

例子：

(100401030012)\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right)

若尔当消元法的步骤

步骤：

  1. 用高斯消元法化为行阶梯形
  2. 将主元化为 1
  3. 将主元上方的元素化为 0

解的结构分析

唯一解

条件：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数时，方程组有唯一解。

无穷多解

条件：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。

通解形式：特解 + 齐次方程组的通解

无解

条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

高斯消元法的优缺点

优点

  1. 通用性强：适用于任意大小的线性方程组
  2. 数值稳定：计算过程中数值误差较小
  3. 易于实现：算法简单，易于编程实现
  4. 可以分析解的结构：通过秩的分析可以判断解的情况

缺点

  1. 计算量大：对于大规模方程组，计算量较大
  2. 需要存储空间：需要存储整个增广矩阵
  3. 不适合稀疏矩阵：对于稀疏矩阵，效率不高

练习题

练习 1

用高斯消元法解方程组 {x+2y=53x−y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}。

参考答案

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：

    (1253−14)\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \end{array} \right)

  2. 前向消元： R2−3R1R_2 - 3R_1：(1250−7−11)\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -7 & -11 \end{array} \right)

  3. 回代求解：

    • 从第二行：−7y=−11-7y = -11，所以 y=117y = \frac{11}{7}
    • 从第一行：x+2y=5x + 2y = 5，所以 x=5−2×117=137x = 5 - 2 \times \frac{11}{7} = \frac{13}{7}

答案：x=137x = \frac{13}{7}，y=117y = \frac{11}{7}

练习 2

用高斯消元法解方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}。

参考答案

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解，注意这是齐次方程组。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：

    (11102220)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array} \right)

  2. 前向消元： R2−2R1R_2 - 2R_1：(11100000)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

  3. 分析解的结构：

    • 系数矩阵的秩为 1，未知数个数为 3
    • 自由变量个数为 3-1=2
    • 设 y=ty = t，z=sz = s，则 x=−t−sx = -t - s

答案：x=−t−sx = -t - s，y=ty = t，z=sz = s（t,st, s 为任意常数）

练习 3

判断方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} 的解的情况。

参考答案

解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：

    (111112)\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)

  2. 前向消元： R2−R1R_2 - R_1：(111001)\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

  3. 分析：

    • 系数矩阵的秩为 1
    • 增广矩阵的秩为 2
    • 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

答案：无解

练习 4

用高斯-若尔当消元法解方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}。

参考答案

解题思路： 先用高斯消元法化为行阶梯形，再用若尔当消元法化为简化行阶梯形。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：

    (1116231131−124)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)

  2. 高斯消元法：

    • R2−2R1R_2 - 2R_1：(111601−111−124)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)
    • R3−R1R_3 - R_1：(111601−110−21−2)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right)
    • R3+2R2R_3 + 2R_2：(111601−1100−10)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)

  3. 若尔当消元法：

    • R3×(−1)R_3 \times (-1)：(111601−110010)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)
    • R2+R3R_2 + R_3：(111601010010)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)
    • R1−R2−R3R_1 - R_2 - R_3：(100501010010)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)

  4. 直接读出解：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

答案：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

练习 5

证明：初等行变换不改变矩阵的秩。

参考答案

解题思路： 分别证明三种初等行变换都不改变矩阵的秩。

详细步骤：

  1. 交换两行：不改变线性相关性，所以不改变秩
  2. 数乘：不改变线性相关性，所以不改变秩
  3. 倍加：不改变线性相关性，所以不改变秩

答案：证明完成