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解的结构与基础解系

解的结构

齐次线性方程组的解结构

定理:齐次线性方程组 Ax=0A\vec{x} = \vec{0} 的解空间是向量空间。

证明

  1. 零解 0\vec{0} 是解
  2. 如果 x1,x2\vec{x}_1, \vec{x}_2 是解,则 x1+x2\vec{x}_1 + \vec{x}_2 也是解
  3. 如果 x\vec{x} 是解,kk 是常数,则 kxk\vec{x} 也是解

非齐次线性方程组的解结构

定理:设 x0\vec{x}_0 是非齐次线性方程组 Ax=bA\vec{x} = \vec{b} 的一个特解,xh\vec{x}_h 是对应齐次方程组 Ax=0A\vec{x} = \vec{0} 的任意解,则 x0+xh\vec{x}_0 + \vec{x}_h 是非齐次方程组的解。

证明A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=bA(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}

解的结构定理

定理:非齐次线性方程组 Ax=bA\vec{x} = \vec{b} 的通解为: x=x0+xh\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_h

其中:

  • x0\vec{x}_0 是非齐次方程组的一个特解
  • xh\vec{x}_h 是对应齐次方程组的通解

基础解系

基础解系的定义

定义:齐次线性方程组 Ax=0A\vec{x} = \vec{0}基础解系是该方程组解空间的基。

基础解系的性质

性质

  1. 基础解系中的向量线性无关
  2. 齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合
  3. 基础解系中向量的个数等于自由变量的个数

基础解系的求法

步骤

  1. 用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形
  2. 确定主元和自由变量
  3. 对每个自由变量,令其等于 1,其他自由变量等于 0,求解得到基础解系

例子

例 1:求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的基础解系。

  1. 增广矩阵:(11102220)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形:(11100000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元:xx,自由变量:y,zy, z
  4. y=1,z=0y = 1, z = 0,得 v1=(1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)
  5. y=0,z=1y = 0, z = 1,得 v2=(1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)
  6. 基础解系:{(1,1,0),(1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}

通解

通解的定义

定义:线性方程组的通解是包含所有解的表达式。

齐次方程组的通解

形式x=k1v1+k2v2++krvr\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r

其中:

  • {v1,v2,,vr}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\} 是基础解系
  • k1,k2,,krk_1, k_2, \dots, k_r 是任意常数

非齐次方程组的通解

形式x=x0+k1v1+k2v2++krvr\vec{x} = \vec{x}_0 + k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r

其中:

  • x0\vec{x}_0 是特解
  • {v1,v2,,vr}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\} 是对应齐次方程组的基础解系
  • k1,k2,,krk_1, k_2, \dots, k_r 是任意常数

解的结构分析

唯一解

条件:当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,方程组有唯一解。

特点

  • 齐次方程组只有零解
  • 非齐次方程组有唯一解

无穷多解

条件:当系数矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组有无穷多解。

特点

  • 齐次方程组有无穷多解
  • 非齐次方程组有无穷多解
  • 自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩

无解

条件:当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时,方程组无解。

解空间的维数

解空间维数的计算

定理:齐次线性方程组 Ax=0A\vec{x} = \vec{0} 的解空间的维数等于 nr(A)n - r(A),其中 nn 是未知数的个数,r(A)r(A) 是系数矩阵的秩。

例子

例 2:分析方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的解空间维数。

  1. 系数矩阵:A=(111222)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
  2. r(A)=1r(A) = 1n=3n = 3
  3. 解空间维数:31=23 - 1 = 2

参数解

参数解的定义

定义:用参数表示的解称为参数解

参数解的求法

步骤

  1. 用高斯消元法化为行阶梯形
  2. 确定主元和自由变量
  3. 用自由变量作为参数表示其他变量

例子

例 3:求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的参数解。

  1. 化为行阶梯形:(11100000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 主元:xx,自由变量:y,zy, z
  3. y=ty = tz=sz = s,则 x=tsx = -t - s
  4. 参数解:x=tsx = -t - sy=ty = tz=sz = st,st, s 为任意常数)

练习题

练习 1

写出 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的基础解系。

参考答案

解题思路: 按照基础解系的求法步骤。

详细步骤

  1. 增广矩阵:(11102220)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形:(11100000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元:xx,自由变量:y,zy, z
  4. y=1,z=0y = 1, z = 0,得 v1=(1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)
  5. y=0,z=1y = 0, z = 1,得 v2=(1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)

答案:基础解系为 {(1,1,0),(1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}

练习 2

求方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13xy+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases} 的通解。

参考答案

解题思路: 先求特解,再求对应齐次方程组的基础解系。

详细步骤

  1. 用高斯消元法求得特解:x=5x = 5y=1y = 1z=0z = 0
  2. 对应齐次方程组:{x+y+z=02x+3y+z=0xy+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases}
  3. 用高斯消元法求得基础解系:空集(只有零解)
  4. 通解:x=5x = 5y=1y = 1z=0z = 0

答案:唯一解 x=5x = 5y=1y = 1z=0z = 0

练习 3

求方程组 {x+y+z=12x+2y+2z=2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \end{cases} 的参数解。

参考答案

解题思路: 用高斯消元法化为行阶梯形,然后用参数表示。

详细步骤

  1. 增广矩阵:(11112222)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形:(11110000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元:xx,自由变量:y,zy, z
  4. y=ty = tz=sz = s,则 x=1tsx = 1 - t - s

答案x=1tsx = 1 - t - sy=ty = tz=sz = st,st, s 为任意常数)

练习 4

分析方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} 的解结构。

参考答案

解题思路: 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤

  1. 增广矩阵:(111112)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形:(111001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}
  3. 系数矩阵的秩为 1,增广矩阵的秩为 2
  4. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

答案:无解

练习 5

证明:非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。

参考答案

解题思路: 利用线性性质证明。

详细步骤

  1. x0\vec{x}_0 是非齐次方程组的特解
  2. xh\vec{x}_h 是对应齐次方程组的任意解
  3. 验证 x0+xh\vec{x}_0 + \vec{x}_h 是非齐次方程组的解: A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=bA(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}
  4. 验证任意解都可以表示为这种形式

答案:证明完成