解的结构与基础解系
解的结构
齐次线性方程组的解结构
定理:齐次线性方程组 Ax=0 的解空间是向量空间。
证明:
- 零解 0 是解
- 如果 x1,x2 是解,则 x1+x2 也是解
- 如果 x 是解,k 是常数,则 kx 也是解
非齐次线性方程组的解结构
定理:设 x0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解,xh 是对应齐次方程组 Ax=0 的任意解,则 x0+xh 是非齐次方程组的解。
证明:
A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=b
解的结构定理
定理:非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为:
x=x0+xh
其中:
- x0 是非齐次方程组的一个特解
- xh 是对应齐次方程组的通解
基础解系
基础解系的定义
定义:齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是该方程组解空间的基。
基础解系的性质
性质:
- 基础解系中的向量线性无关
- 齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合
- 基础解系中向量的个数等于自由变量的个数
基础解系的求法
步骤:
- 用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形
- 确定主元和自由变量
- 对每个自由变量,令其等于 1,其他自由变量等于 0,求解得到基础解系
例子
例 1:求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0 的基础解系。
解:
- 增广矩阵:(121212∣∣00)
- 化为行阶梯形:(101010∣∣00)
- 主元:x,自由变量:y,z
- 令 y=1,z=0,得 v1=(−1,1,0)
- 令 y=0,z=1,得 v2=(−1,0,1)
- 基础解系:{(−1,1,0),(−1,0,1)}
通解
通解的定义
定义:线性方程组的通解是包含所有解的表达式。
齐次方程组的通解
形式:x=k1v1+k2v2+⋯+krvr
其中:
- {v1,v2,…,vr} 是基础解系
- k1,k2,…,kr 是任意常数
非齐次方程组的通解
形式:x=x0+k1v1+k2v2+⋯+krvr
其中:
- x0 是特解
- {v1,v2,…,vr} 是对应齐次方程组的基础解系
- k1,k2,…,kr 是任意常数
解的结构分析
唯一解
条件:当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,方程组有唯一解。
特点:
无穷多解
条件:当系数矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组有无穷多解。
特点:
- 齐次方程组有无穷多解
- 非齐次方程组有无穷多解
- 自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩
无解
条件:当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时,方程组无解。
解空间的维数
解空间维数的计算
定理:齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数等于 n−r(A),其中 n 是未知数的个数,r(A) 是系数矩阵的秩。
例子
例 2:分析方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0 的解空间维数。
解:
- 系数矩阵:A=(121212)
- r(A)=1,n=3
- 解空间维数:3−1=2
参数解
参数解的定义
定义:用参数表示的解称为参数解。
参数解的求法
步骤:
- 用高斯消元法化为行阶梯形
- 确定主元和自由变量
- 用自由变量作为参数表示其他变量
例子
例 3:求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0 的参数解。
解:
- 化为行阶梯形:(101010∣∣00)
- 主元:x,自由变量:y,z
- 设 y=t,z=s,则 x=−t−s
- 参数解:x=−t−s,y=t,z=s(t,s 为任意常数)
练习题
练习 1
写出 {x+y+z=02x+2y+2z=0 的基础解系。
参考答案
解题思路:
按照基础解系的求法步骤。
详细步骤:
- 增广矩阵:(121212∣∣00)
- 化为行阶梯形:(101010∣∣00)
- 主元:x,自由变量:y,z
- 令 y=1,z=0,得 v1=(−1,1,0)
- 令 y=0,z=1,得 v2=(−1,0,1)
答案:基础解系为 {(−1,1,0),(−1,0,1)}
练习 2
求方程组 ⎩⎨⎧x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4 的通解。
参考答案
解题思路:
先求特解,再求对应齐次方程组的基础解系。
详细步骤:
- 用高斯消元法求得特解:x=5,y=1,z=0
- 对应齐次方程组:⎩⎨⎧x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0
- 用高斯消元法求得基础解系:空集(只有零解)
- 通解:x=5,y=1,z=0
答案:唯一解 x=5,y=1,z=0
练习 3
求方程组 {x+y+z=12x+2y+2z=2 的参数解。
参考答案
解题思路:
用高斯消元法化为行阶梯形,然后用参数表示。
详细步骤:
- 增广矩阵:(121212∣∣12)
- 化为行阶梯形:(101010∣∣10)
- 主元:x,自由变量:y,z
- 设 y=t,z=s,则 x=1−t−s
答案:x=1−t−s,y=t,z=s(t,s 为任意常数)
练习 4
分析方程组 {x+y=1x+y=2 的解结构。
参考答案
解题思路:
用高斯消元法分析解的结构。
详细步骤:
- 增广矩阵:(1111∣∣12)
- 化为行阶梯形:(1010∣∣11)
- 系数矩阵的秩为 1,增广矩阵的秩为 2
- 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩
答案:无解
练习 5
证明:非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。
参考答案
解题思路:
利用线性性质证明。
详细步骤:
- 设 x0 是非齐次方程组的特解
- 设 xh 是对应齐次方程组的任意解
- 验证 x0+xh 是非齐次方程组的解:
A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=b
- 验证任意解都可以表示为这种形式
答案:证明完成