线性方程组综合练习题

解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 1，未知数个数为 2
4. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数个数

答案：有无穷多解

解题思路： 按照克拉默法则的步骤求解。

详细步骤：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
2. $|A| = 1 \times (-1) - 2 \times 3 = -1 - 6 = -7 \neq 0$
3. $|A_1| = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 5 \times (-1) - 2 \times 4 = -5 - 8 = -13$
4. $|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 5 \times 3 = 4 - 15 = -11$
5. $x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}$，$y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}$

答案：$x = \frac{13}{7}$，$y = \frac{11}{7}$

解题思路： 按照基础解系的求法步骤。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 主元：$x$，自由变量：$y, z$
4. 令 $y = 1, z = 0$，得 $\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)$
5. 令 $y = 0, z = 1$，得 $\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)$

答案：基础解系为 $\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}$

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & 1 & | & 13 \\ 1 & -1 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}$
2. 前向消元：
   • $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}$
   • $R_3 - R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -2 & 1 & | & -2 \end{pmatrix}$
   • $R_3 + 2R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 回代求解：
   • 从第三行：$-z = 0$，所以 $z = 0$
   • 从第二行：$y - z = 1$，所以 $y = 1$
   • 从第一行：$x + y + z = 6$，所以 $x = 5$

答案：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

解题思路： 用高斯消元法分析解的情况。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}$
3. 系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2
4. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

答案：无解

解题思路： 用高斯消元法化为行阶梯形，然后用参数表示。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 主元：$x$，自由变量：$y, z$
4. 设 $y = t$，$z = s$，则 $x = 1 - t - s$

答案：$x = 1 - t - s$，$y = t$，$z = s$（$t, s$ 为任意常数）

解题思路： 按照克拉默法则的步骤求解。

详细步骤：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
2. $|A| = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$
3. $|A_1| = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} = 7 \times (-3) - 1 \times (-4) = -21 + 4 = -17$
4. $|A_2| = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) - 7 \times 1 = -8 - 7 = -15$
5. $x = \frac{-17}{-7} = \frac{17}{7}$，$y = \frac{-15}{-7} = \frac{15}{7}$

答案：$x = \frac{17}{7}$，$y = \frac{15}{7}$

解题思路： 检查系数矩阵的行列式。

详细步骤：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
2. $|A| = 1 \times 2 - 1 \times 2 = 2 - 2 = 0$
3. 行列式为零，克拉默法则不适用

答案：不能用克拉默法则求解

解题思路： 先用高斯消元法化为行阶梯形，再用若尔当消元法化为简化行阶梯形。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & 1 & | & 13 \\ 1 & -1 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}$
2. 高斯消元法：
   • $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}$
   • $R_3 - R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -2 & 1 & | & -2 \end{pmatrix}$
   • $R_3 + 2R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 若尔当消元法：
   • $R_3 \times (-1)$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$
   • $R_2 + R_3$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$
   • $R_1 - R_2 - R_3$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$
4. 直接读出解：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

答案：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

解题思路： 计算系数矩阵的秩，然后用公式计算解空间维数。

详细步骤：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
3. $r(A) = 2$，$n = 3$
4. 解空间维数：$n - r(A) = 3 - 2 = 1$

答案：解空间维数为 1

解题思路： 验证向量空间的三个条件。

详细步骤：

1. 零元素：$\vec{0}$ 是解，因为 $A\vec{0} = \vec{0}$
2. 加法封闭性：如果 $\vec{x}_1, \vec{x}_2$ 是解，则 $A(\vec{x}_1 + \vec{x}_2) = A\vec{x}_1 + A\vec{x}_2 = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$
3. 数乘封闭性：如果 $\vec{x}$ 是解，$k$ 是常数，则 $A(k\vec{x}) = k(A\vec{x}) = k\vec{0} = \vec{0}$

答案：证明完成

解题思路： 先检查行列式，再分析解的情况。

详细步骤：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
2. $|A| = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$
3. 克拉默法则不适用
4. 观察两个方程：第二个方程是第一个方程的 2 倍
5. 两个方程等价，有无穷多解

答案：有无穷多解

解题思路： 用高斯消元法化为行阶梯形，然后求基础解系。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \\ 3 & 3 & 3 & | & 3 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 主元：$x$，自由变量：$y, z$
4. 令 $y = 1, z = 0$，得 $\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)$
5. 令 $y = 0, z = 1$，得 $\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)$

答案：基础解系为 $\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}$

解题思路： 利用克拉默法则和反证法。

详细步骤：

1. 假设 $|A| \neq 0$
2. 根据克拉默法则，方程组有唯一解
3. 由于是齐次方程组，唯一解是零解
4. 这与有非零解矛盾
5. 所以 $|A| = 0$

答案：证明完成

解题思路： 用高斯消元法化为行阶梯形，然后用参数表示。

详细步骤：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 主元：$x, y$，自由变量：$z$
4. 设 $z = t$，则 $y = t$，$x = -2t$

答案：$x = -2t$，$y = t$，$z = t$（$t$ 为任意常数）