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特征值与特征向量的基本概念

特征值与特征向量的定义

特征值的定义

定义:设 AAnn 阶方阵,如果存在非零向量 x\vec{x} 和数 λ\lambda,使得: Ax=λxA\vec{x} = \lambda\vec{x}

则称 λ\lambda 为矩阵 AA特征值x\vec{x} 为对应于特征值 λ\lambda特征向量

特征向量的定义

定义:满足 Ax=λxA\vec{x} = \lambda\vec{x} 的非零向量 x\vec{x} 称为矩阵 AA 对应于特征值 λ\lambda特征向量

特征子空间

定义:对应于特征值 λ\lambda 的所有特征向量加上零向量构成的子空间称为特征子空间,记为 EλE_\lambda

特征方程

特征多项式的定义

定义:设 AAnn 阶方阵,则多项式 f(λ)=AλIf(\lambda) = |A - \lambda I| 称为矩阵 AA特征多项式

特征方程

定义:方程 AλI=0|A - \lambda I| = 0 称为矩阵 AA特征方程

特征值的求法

步骤

  1. 写出特征方程 AλI=0|A - \lambda I| = 0
  2. 求解特征方程得到特征值
  3. 对每个特征值,求解齐次方程组 (AλI)x=0(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0} 得到特征向量

例子

例 1:求矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 的特征值和特征向量。

  1. 特征方程:AλI=2λ112λ=0|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0
  2. 展开:(2λ)21=λ24λ+3=0(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
  3. 求解:λ=1\lambda = 1λ=3\lambda = 3
  4. 对于 λ=1\lambda = 1
    • 解方程组 (AI)x=0(A - I)\vec{x} = \vec{0}
    • (1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,1)\vec{x} = (1, -1)
  5. 对于 λ=3\lambda = 3
    • 解方程组 (A3I)x=0(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}
    • (1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,1)\vec{x} = (1, 1)

特征值与特征向量的性质

基本性质

性质 1nn 阶矩阵有 nn 个特征值(重数计算在内)。

性质 2:特征值的和等于矩阵的迹:i=1nλi=tr(A)\sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{tr}(A)

性质 3:特征值的积等于矩阵的行列式:i=1nλi=A\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|

特征向量的性质

性质 1:对应于不同特征值的特征向量线性无关。

性质 2:对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量。

性质 3:特征向量不是唯一的,但特征值是唯一的。

特征多项式的性质

性质 1:特征多项式的次数等于矩阵的阶数。

性质 2:特征多项式的常数项等于 (1)nA(-1)^n|A|

性质 3:特征多项式的最高次项系数为 (1)n(-1)^n

特征值的重数

代数重数

定义:特征值 λ\lambda 在特征多项式中作为根的重数称为代数重数

几何重数

定义:对应于特征值 λ\lambda 的线性无关特征向量的最大个数称为几何重数

重数的关系

定理:几何重数 ≤ 代数重数

证明:几何重数等于特征子空间的维数,而特征子空间的维数不超过代数重数。

特征值与特征向量的计算

计算步骤

  1. 写出特征方程AλI=0|A - \lambda I| = 0
  2. 求解特征值:解特征方程得到所有特征值
  3. 求特征向量:对每个特征值,解齐次方程组 (AλI)x=0(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}
  4. 验证结果:验证 Ax=λxA\vec{x} = \lambda\vec{x} 是否成立

注意事项

  1. 特征向量非零:特征向量不能是零向量
  2. 特征向量不唯一:同一特征值对应的特征向量有无穷多个
  3. 重根处理:重根对应的特征向量需要特殊处理
  4. 复数特征值:特征值可能是复数

练习题

练习 1

求矩阵 A=(3102)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路: 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤

  1. 特征方程:AλI=3λ102λ=0|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0
  2. 展开:(3λ)(2λ)=0(3-\lambda)(2-\lambda) = 0
  3. 求解:λ=2\lambda = 2λ=3\lambda = 3
  4. 对于 λ=2\lambda = 2
    • 解方程组 (A2I)x=0(A - 2I)\vec{x} = \vec{0}
    • (1100)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,1)\vec{x} = (1, -1)
  5. 对于 λ=3\lambda = 3
    • 解方程组 (A3I)x=0(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}
    • (0101)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,0)\vec{x} = (1, 0)

答案:特征值 λ1=2\lambda_1 = 2λ2=3\lambda_2 = 3;对应特征向量 x1=(1,1)\vec{x}_1 = (1, -1)x2=(1,0)\vec{x}_2 = (1, 0)

练习 2

求矩阵 A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路: 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤

  1. 特征方程:AλI=1λ101λ=0|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0
  2. 展开:(1λ)2=0(1-\lambda)^2 = 0
  3. 求解:λ=1\lambda = 1(二重根)
  4. 对于 λ=1\lambda = 1
    • 解方程组 (AI)x=0(A - I)\vec{x} = \vec{0}
    • (0100)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,0)\vec{x} = (1, 0)

答案:特征值 λ=1\lambda = 1(二重根);对应特征向量 x=(1,0)\vec{x} = (1, 0)

练习 3

证明:对应于不同特征值的特征向量线性无关。

参考答案

解题思路: 用反证法证明。

详细步骤

  1. 假设对应于不同特征值 λ1,λ2,,λk\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k 的特征向量 x1,x2,,xk\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_k 线性相关
  2. 则存在不全为零的常数 c1,c2,,ckc_1, c_2, \dots, c_k,使得 c1x1+c2x2++ckxk=0c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2 + \dots + c_k\vec{x}_k = \vec{0}
  3. c10c_1 \neq 0,则 x1=c2c1x2ckc1xk\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\vec{x}_k
  4. 两边左乘 AAAx1=c2c1Ax2ckc1AxkA\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}A\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}A\vec{x}_k
  5. λ1x1=c2c1λ2x2ckc1λkxk\lambda_1\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\lambda_2\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\lambda_k\vec{x}_k
  6. 这与特征值不同矛盾

答案:证明完成

练习 4

设矩阵 AA 的特征值为 1,2,31, 2, 3,求 A|A|tr(A)\operatorname{tr}(A)

参考答案

解题思路: 利用特征值的性质。

详细步骤

  1. 特征值的积等于行列式:A=1×2×3=6|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6
  2. 特征值的和等于迹:tr(A)=1+2+3=6\operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + 3 = 6

答案A=6|A| = 6tr(A)=6\operatorname{tr}(A) = 6

练习 5

求矩阵 A=(0110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路: 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤

  1. 特征方程:AλI=λ11λ=0|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0
  2. 展开:λ21=0\lambda^2 - 1 = 0
  3. 求解:λ=1\lambda = 1λ=1\lambda = -1
  4. 对于 λ=1\lambda = 1
    • 解方程组 (AI)x=0(A - I)\vec{x} = \vec{0}
    • (1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,1)\vec{x} = (1, 1)
  5. 对于 λ=1\lambda = -1
    • 解方程组 (A+I)x=0(A + I)\vec{x} = \vec{0}
    • (1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
    • 得到特征向量 x=(1,1)\vec{x} = (1, -1)

答案:特征值 λ1=1\lambda_1 = 1λ2=1\lambda_2 = -1;对应特征向量 x1=(1,1)\vec{x}_1 = (1, 1)x2=(1,1)\vec{x}_2 = (1, -1)