相似与对角化

相似矩阵

相似矩阵的定义

定义：设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在可逆矩阵 $P$，使得： $B = P^{-1}AP$

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A \sim B$。

相似矩阵的性质

性质 1：相似关系是等价关系（自反、对称、传递）。

性质 2：相似矩阵有相同的特征多项式。

性质 3：相似矩阵有相同的特征值。

性质 4：相似矩阵有相同的迹和行列式。

性质 5：相似矩阵有相同的秩。

相似矩阵的证明

证明性质 2： 设 $B = P^{-1}AP$，则： $|B - \lambda I| = |P^{-1}AP - \lambda I| = |P^{-1}AP - P^{-1}\lambda IP| = |P^{-1}(A - \lambda I)P| = |P^{-1}||A - \lambda I||P| = |A - \lambda I|$

对角化

对角化的定义

定义：如果矩阵 $A$ 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得： $A = PDP^{-1}$

则称矩阵 $A$ 可对角化。

对角化的条件

定理：$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证明：

• 充分性：设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$，对应的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。令 $P = [\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n]$，$D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，则 $A = PDP^{-1}$。
• 必要性：如果 $A = PDP^{-1}$，则 $AP = PD$，即 $A$ 的列向量是 $P$ 的列向量的线性组合，且系数为 $D$ 的对角元素。

对角化的步骤

步骤：

1. 求特征值：解特征方程 $|A - \lambda I| = 0$
2. 求特征向量：对每个特征值，求对应的线性无关特征向量
3. 构造矩阵：$P$ 由特征向量组成，$D$ 由特征值组成
4. 验证：验证 $A = PDP^{-1}$ 是否成立

例子

例 1：判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 是否可对角化，如果可以，求对角化形式。

解：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 3$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
4. 构造矩阵：
   • $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
5. 对角化形式：$A = PDP^{-1}$

不可对角化的情况

不可对角化的条件

定理：如果矩阵 $A$ 有重特征值，且重特征值的几何重数小于代数重数，则 $A$ 不可对角化。

例子

例 2：判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是否可对角化。

解：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 = 0$
2. 特征值：$\lambda = 1$（二重根）
3. 几何重数：解 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$，得到 $\vec{x} = (1, 0)$，几何重数为 1
4. 代数重数为 2，几何重数为 1，所以不可对角化

对角化的应用

矩阵幂的计算

定理：如果 $A = PDP^{-1}$，则 $A^n = PD^nP^{-1}$。

证明： $A^n = (PDP^{-1})^n = PDP^{-1} \cdot PDP^{-1} \cdot \dots \cdot PDP^{-1} = PD^nP^{-1}$

矩阵函数的计算

定理：如果 $A = PDP^{-1}$，则 $f(A) = Pf(D)P^{-1}$，其中 $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots, f(\lambda_n))$。

若尔当标准形

若尔当标准形的定义

定义：对于不可对角化的矩阵，可以化为若尔当标准形： $A = PJP^{-1}$

其中 $J$ 是若尔当矩阵，由若尔当块组成。

若尔当块

定义：形如 $J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_i \end{pmatrix}$

的矩阵称为若尔当块。

练习题

练习 1

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是否可对角化。

练习 2

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的对角化形式。

练习 3

证明：相似矩阵有相同的特征值。

练习 4

设 $A = PDP^{-1}$，求 $A^n$。

练习 5

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 是否可对角化，如果可以，求对角化形式。