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实对称矩阵

实对称矩阵的定义

对称矩阵的定义

定义:如果矩阵 AA 满足 AT=AA^T = A,则称 AA对称矩阵

实对称矩阵的定义

定义:如果矩阵 AA 是实矩阵且满足 AT=AA^T = A,则称 AA实对称矩阵

例子

例 1:矩阵 A=(1223)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} 是实对称矩阵,因为 AT=AA^T = A

实对称矩阵的性质

基本性质

性质 1:实对称矩阵的特征值都是实数。

性质 2:实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。

性质 3:实对称矩阵可以对角化。

性质 4:实对称矩阵可以正交对角化。

性质 1 的证明

证明:设 AA 是实对称矩阵,λ\lambda 是其特征值,x\vec{x} 是对应的特征向量。

Ax=λxA\vec{x} = \lambda\vec{x}

两边取共轭转置: xAT=λx\vec{x}^*A^T = \lambda^*\vec{x}^*

由于 AA 是实对称矩阵,AT=AA^T = A,所以: xA=λx\vec{x}^*A = \lambda^*\vec{x}^*

两边右乘 x\vec{x}xAx=λxx\vec{x}^*A\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}

左边:xAx=xλx=λxx\vec{x}^*A\vec{x} = \vec{x}^*\lambda\vec{x} = \lambda\vec{x}^*\vec{x}

所以:λxx=λxx\lambda\vec{x}^*\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}

由于 x0\vec{x} \neq \vec{0},所以 xx>0\vec{x}^*\vec{x} > 0,因此 λ=λ\lambda = \lambda^*,即 λ\lambda 是实数。

性质 2 的证明

证明:设 λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2 是实对称矩阵 AA 的两个不同特征值,x1,x2\vec{x}_1, \vec{x}_2 是对应的特征向量。

Ax1=λ1x1A\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_1 Ax2=λ2x2A\vec{x}_2 = \lambda_2\vec{x}_2

第一个等式两边左乘 x2T\vec{x}_2^Tx2TAx1=λ1x2Tx1\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1

由于 AA 是对称矩阵: x2TAx1=x2TATx1=(Ax2)Tx1=λ2x2Tx1\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \vec{x}_2^TA^T\vec{x}_1 = (A\vec{x}_2)^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1

所以:λ1x2Tx1=λ2x2Tx1\lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1

由于 λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2,所以 x2Tx1=0\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = 0,即 x1\vec{x}_1x2\vec{x}_2 正交。

正交对角化

正交对角化的定义

定义:如果存在正交矩阵 QQ 和对角矩阵 DD,使得: A=QDQTA = QDQ^T

则称矩阵 AA 可正交对角化

正交对角化的条件

定理:实对称矩阵可以正交对角化。

证明

  1. 实对称矩阵可以对角化
  2. 实对称矩阵的特征向量可以正交化
  3. 因此可以正交对角化

正交对角化的步骤

步骤

  1. 求特征值:解特征方程 AλI=0|A - \lambda I| = 0
  2. 求特征向量:对每个特征值,求对应的特征向量
  3. 正交化:对重特征值对应的特征向量进行施密特正交化
  4. 单位化:将所有特征向量单位化
  5. 构造矩阵QQ 由单位化特征向量组成,DD 由特征值组成

例子

例 2:求矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 的正交对角化形式。

  1. 特征方程:AλI=λ24λ+3=0|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
  2. 特征值:λ1=1\lambda_1 = 1λ2=3\lambda_2 = 3
  3. 特征向量:
    • λ1=1\lambda_1 = 1x1=(1,1)\vec{x}_1 = (1, -1)
    • λ2=3\lambda_2 = 3x2=(1,1)\vec{x}_2 = (1, 1)
  4. 单位化:
    • q1=12(1,1)\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)
    • q2=12(1,1)\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)
  5. 构造矩阵:
    • Q=12(1111)Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
    • D=(1003)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
  6. 正交对角化形式:A=QDQTA = QDQ^T

谱定理

谱定理的表述

定理(谱定理):设 AAnn 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 QQ 和对角矩阵 DD,使得: A=QDQTA = QDQ^T

其中 DD 的对角元素是 AA 的特征值,QQ 的列向量是 AA 的对应于这些特征值的单位正交特征向量。

谱定理的应用

应用 1:实对称矩阵的幂 An=QDnQTA^n = QD^nQ^T

应用 2:实对称矩阵的函数 f(A)=Qf(D)QTf(A) = Qf(D)Q^T

其中 f(D)=diag(f(λ1),f(λ2),,f(λn))f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots, f(\lambda_n))

正定矩阵

正定矩阵的定义

定义:设 AAnn 阶实对称矩阵,如果对任意非零向量 x\vec{x},都有: xTAx>0\vec{x}^TA\vec{x} > 0

则称 AA正定矩阵

正定矩阵的等价条件

定理:设 AAnn 阶实对称矩阵,则以下条件等价:

  1. AA 是正定矩阵
  2. AA 的所有特征值都是正数
  3. AA 的所有顺序主子式都是正数
  4. 存在可逆矩阵 BB,使得 A=BTBA = B^TB

例子

例 3:判断矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 是否为正定矩阵。

  1. 特征值:λ1=1\lambda_1 = 1λ2=3\lambda_2 = 3,都是正数
  2. 顺序主子式:A1=2>0|A_1| = 2 > 0A2=3>0|A_2| = 3 > 0
  3. 所以 AA 是正定矩阵

练习题

练习 1

判断矩阵 A=(0110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 是否为实对称矩阵,并说明其特征值是否全为实数。

参考答案

解题思路: 检查矩阵的对称性和特征值。

详细步骤

  1. 检查对称性:AT=(0110)=AA^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A,所以是实对称矩阵
  2. 求特征值:AλI=λ21=0|A - \lambda I| = \lambda^2 - 1 = 0
  3. 特征值:λ=1\lambda = 1λ=1\lambda = -1,都是实数

答案:是实对称矩阵,特征值全为实数

练习 2

求矩阵 A=(3113)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 的正交对角化形式。

参考答案

解题思路: 按照正交对角化的步骤求解。

详细步骤

  1. 特征方程:AλI=(3λ)21=λ26λ+8=0|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0
  2. 特征值:λ1=2\lambda_1 = 2λ2=4\lambda_2 = 4
  3. 特征向量:
    • λ1=2\lambda_1 = 2x1=(1,1)\vec{x}_1 = (1, -1)
    • λ2=4\lambda_2 = 4x2=(1,1)\vec{x}_2 = (1, 1)
  4. 单位化:
    • q1=12(1,1)\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)
    • q2=12(1,1)\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)
  5. 构造矩阵:
    • Q=12(1111)Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
    • D=(2004)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
  6. 正交对角化形式:A=QDQTA = QDQ^T

答案A=QDQTA = QDQ^T,其中 Q=12(1111)Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}D=(2004)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

练习 3

证明:实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。

参考答案

解题思路: 利用实对称矩阵的性质证明。

详细步骤

  1. λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2 是实对称矩阵 AA 的两个不同特征值
  2. x1,x2\vec{x}_1, \vec{x}_2 是对应的特征向量
  3. Ax1=λ1x1A\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_1Ax2=λ2x2A\vec{x}_2 = \lambda_2\vec{x}_2
  4. 第一个等式两边左乘 x2T\vec{x}_2^Tx2TAx1=λ1x2Tx1\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1
  5. 由于 AA 是对称矩阵:x2TAx1=x2TATx1=(Ax2)Tx1=λ2x2Tx1\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \vec{x}_2^TA^T\vec{x}_1 = (A\vec{x}_2)^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1
  6. 所以:λ1x2Tx1=λ2x2Tx1\lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1
  7. 由于 λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2,所以 x2Tx1=0\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = 0,即 x1\vec{x}_1x2\vec{x}_2 正交

答案:证明完成

练习 4

判断矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 是否为正定矩阵。

参考答案

解题思路: 检查特征值或顺序主子式。

详细步骤

  1. 方法一:求特征值
    • 特征方程:AλI=λ24λ+3=0|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
    • 特征值:λ1=1\lambda_1 = 1λ2=3\lambda_2 = 3,都是正数
  2. 方法二:检查顺序主子式
    • A1=2>0|A_1| = 2 > 0
    • A2=3>0|A_2| = 3 > 0

答案:是正定矩阵

练习 5

AA 是实对称矩阵,证明:AA 的特征值都是实数。

参考答案

解题思路: 利用实对称矩阵的性质证明。

详细步骤

  1. λ\lambdaAA 的特征值,x\vec{x} 是对应的特征向量
  2. Ax=λxA\vec{x} = \lambda\vec{x}
  3. 两边取共轭转置:xAT=λx\vec{x}^*A^T = \lambda^*\vec{x}^*
  4. 由于 AA 是实对称矩阵,AT=AA^T = A,所以:xA=λx\vec{x}^*A = \lambda^*\vec{x}^*
  5. 两边右乘 x\vec{x}xAx=λxx\vec{x}^*A\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}
  6. 左边:xAx=xλx=λxx\vec{x}^*A\vec{x} = \vec{x}^*\lambda\vec{x} = \lambda\vec{x}^*\vec{x}
  7. 所以:λxx=λxx\lambda\vec{x}^*\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}
  8. 由于 x0\vec{x} \neq \vec{0},所以 xx>0\vec{x}^*\vec{x} > 0,因此 λ=λ\lambda = \lambda^*,即 λ\lambda 是实数

答案:证明完成