实对称矩阵
实对称矩阵的定义
对称矩阵的定义
定义:如果矩阵 A 满足 AT=A,则称 A 为对称矩阵。
实对称矩阵的定义
定义:如果矩阵 A 是实矩阵且满足 AT=A,则称 A 为实对称矩阵。
例子
例 1:矩阵 A=(1223) 是实对称矩阵,因为 AT=A。
实对称矩阵的性质
基本性质
性质 1:实对称矩阵的特征值都是实数。
性质 2:实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。
性质 3:实对称矩阵可以对角化。
性质 4:实对称矩阵可以正交对角化。
性质 1 的证明
证明:设 A 是实对称矩阵,λ 是其特征值,x 是对应的特征向量。
Ax=λx
两边取共轭转置:
x∗AT=λ∗x∗
由于 A 是实对称矩阵,AT=A,所以:
x∗A=λ∗x∗
两边右乘 x:
x∗Ax=λ∗x∗x
左边:x∗Ax=x∗λx=λx∗x
所以:λx∗x=λ∗x∗x
由于 x=0,所以 x∗x>0,因此 λ=λ∗,即 λ 是实数。
性质 2 的证明
证明:设 λ1=λ2 是实对称矩阵 A 的两个不同特征值,x1,x2 是对应的特征向量。
Ax1=λ1x1
Ax2=λ2x2
第一个等式两边左乘 x2T:
x2TAx1=λ1x2Tx1
由于 A 是对称矩阵:
x2TAx1=x2TATx1=(Ax2)Tx1=λ2x2Tx1
所以:λ1x2Tx1=λ2x2Tx1
由于 λ1=λ2,所以 x2Tx1=0,即 x1 与 x2 正交。
正交对角化
正交对角化的定义
定义:如果存在正交矩阵 Q 和对角矩阵 D,使得:
A=QDQT
则称矩阵 A 可正交对角化。
正交对角化的条件
定理:实对称矩阵可以正交对角化。
证明:
- 实对称矩阵可以对角化
- 实对称矩阵的特征向量可以正交化
- 因此可以正交对角化
正交对角化的步骤
步骤:
- 求特征值:解特征方程 ∣A−λI∣=0
- 求特征向量:对每个特征值,求对应的特征向量
- 正交化:对重特征值对应的特征向量进行施密特正交化
- 单位化:将所有特征向量单位化
- 构造矩阵:Q 由单位化特征向量组成,D 由特征值组成
例子
例 2:求矩阵 A=(2112) 的正交对角化形式。
解:
- 特征方程:∣A−λI∣=λ2−4λ+3=0
- 特征值:λ1=1,λ2=3
- 特征向量:
- λ1=1:x1=(1,−1)
- λ2=3:x2=(1,1)
- 单位化:
- q1=21(1,−1)
- q2=21(1,1)
- 构造矩阵:
- Q=21(1−111)
- D=(1003)
- 正交对角化形式:A=QDQT
谱定理
谱定理的表述
定理(谱定理):设 A 是 n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 Q 和对角矩阵 D,使得:
A=QDQT
其中 D 的对角元素是 A 的特征值,Q 的列向量是 A 的对应于这些特征值的单位正交特征向量。
谱定理的应用
应用 1:实对称矩阵的幂
An=QDnQT
应用 2:实对称矩阵的函数
f(A)=Qf(D)QT
其中 f(D)=diag(f(λ1),f(λ2),…,f(λn))。
正定矩阵
正定矩阵的定义
定义:设 A 是 n 阶实对称矩阵,如果对任意非零向量 x,都有:
xTAx>0
则称 A 为正定矩阵。
正定矩阵的等价条件
定理:设 A 是 n 阶实对称矩阵,则以下条件等价:
- A 是正定矩阵
- A 的所有特征值都是正数
- A 的所有顺序主子式都是正数
- 存在可逆矩阵 B,使得 A=BTB
例子
例 3:判断矩阵 A=(2112) 是否为正定矩阵。
解:
- 特征值:λ1=1,λ2=3,都是正数
- 顺序主子式:∣A1∣=2>0,∣A2∣=3>0
- 所以 A 是正定矩阵
练习题
练习 1
判断矩阵 A=(0110) 是否为实对称矩阵,并说明其特征值是否全为实数。
参考答案
解题思路:
检查矩阵的对称性和特征值。
详细步骤:
- 检查对称性:AT=(0110)=A,所以是实对称矩阵
- 求特征值:∣A−λI∣=λ2−1=0
- 特征值:λ=1 或 λ=−1,都是实数
答案:是实对称矩阵,特征值全为实数
练习 2
求矩阵 A=(3113) 的正交对角化形式。
参考答案
解题思路:
按照正交对角化的步骤求解。
详细步骤:
- 特征方程:∣A−λI∣=(3−λ)2−1=λ2−6λ+8=0
- 特征值:λ1=2,λ2=4
- 特征向量:
- λ1=2:x1=(1,−1)
- λ2=4:x2=(1,1)
- 单位化:
- q1=21(1,−1)
- q2=21(1,1)
- 构造矩阵:
- Q=21(1−111)
- D=(2004)
- 正交对角化形式:A=QDQT
答案:A=QDQT,其中 Q=21(1−111),D=(2004)
练习 3
证明:实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。
参考答案
解题思路:
利用实对称矩阵的性质证明。
详细步骤:
- 设 λ1=λ2 是实对称矩阵 A 的两个不同特征值
- 设 x1,x2 是对应的特征向量
- Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2
- 第一个等式两边左乘 x2T:x2TAx1=λ1x2Tx1
- 由于 A 是对称矩阵:x2TAx1=x2TATx1=(Ax2)Tx1=λ2x2Tx1
- 所以:λ1x2Tx1=λ2x2Tx1
- 由于 λ1=λ2,所以 x2Tx1=0,即 x1 与 x2 正交
答案:证明完成
练习 4
判断矩阵 A=(2112) 是否为正定矩阵。
参考答案
解题思路:
检查特征值或顺序主子式。
详细步骤:
- 方法一:求特征值
- 特征方程:∣A−λI∣=λ2−4λ+3=0
- 特征值:λ1=1,λ2=3,都是正数
- 方法二:检查顺序主子式
- ∣A1∣=2>0
- ∣A2∣=3>0
答案:是正定矩阵
练习 5
设 A 是实对称矩阵,证明:A 的特征值都是实数。
参考答案
解题思路:
利用实对称矩阵的性质证明。
详细步骤:
- 设 λ 是 A 的特征值,x 是对应的特征向量
- Ax=λx
- 两边取共轭转置:x∗AT=λ∗x∗
- 由于 A 是实对称矩阵,AT=A,所以:x∗A=λ∗x∗
- 两边右乘 x:x∗Ax=λ∗x∗x
- 左边:x∗Ax=x∗λx=λx∗x
- 所以:λx∗x=λ∗x∗x
- 由于 x=0,所以 x∗x>0,因此 λ=λ∗,即 λ 是实数
答案:证明完成