特征值与特征向量综合练习题

解题思路： 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
2. 展开：$(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
3. 求解：$\lambda = 1$ 或 $\lambda = 3$
4. 对于 $\lambda = 1$：
   • 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
   • $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
5. 对于 $\lambda = 3$：
   • 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
   • $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 1)$

答案：特征值 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, -1)$，$\vec{x}_2 = (1, 1)$

解题思路： 检查是否有足够的线性无关特征向量。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 = 0$
2. 特征值：$\lambda = 1$（二重根）
3. 求特征向量：解 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
4. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
5. 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$
6. 只有一个线性无关特征向量，少于矩阵阶数 2

答案：不可对角化

解题思路： 利用特征值的性质。

详细步骤：

1. 特征值的积等于行列式：$|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$
2. 特征值的和等于迹：$\operatorname{tr}A = 1 + 2 + 3 = 6$

答案：$|A| = 6$，$\operatorname{tr}A = 6$

解题思路： 检查矩阵的对称性和特征值。

详细步骤：

1. 检查对称性：$A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$，所以是实对称矩阵
2. 求特征值：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 1 = 0$
3. 特征值：$\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$，都是实数

答案：是实对称矩阵，特征值全为实数

解题思路： 利用对角化的定义。

详细步骤：

1. 如果 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得 $A = PDP^{-1}$
2. 其中 $P$ 的列向量是 $A$ 的线性无关特征向量
3. $D$ 的对角元素是 $A$ 的特征值

答案：$A = PDP^{-1}$，$D$ 为对角阵，$P$ 为特征向量矩阵

解题思路： 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
2. 展开：$(3-\lambda)(2-\lambda) = 0$
3. 求解：$\lambda = 2$ 或 $\lambda = 3$
4. 对于 $\lambda = 2$：
   • 解方程组 $(A - 2I)\vec{x} = \vec{0}$
   • $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
5. 对于 $\lambda = 3$：
   • 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
   • $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

答案：特征值 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 3$；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, -1)$，$\vec{x}_2 = (1, 0)$

解题思路： 按照对角化的步骤求解。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 3$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
4. 构造矩阵：
   • $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
5. 对角化形式：$A = PDP^{-1}$

答案：$A = PDP^{-1}$，其中 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

解题思路： 按照正交对角化的步骤求解。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 4$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 2$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 4$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
4. 单位化：
   • $\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$
   • $\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$
5. 构造矩阵：
   • $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
6. 正交对角化形式：$A = QDQ^T$

答案：$A = QDQ^T$，其中 $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

解题思路： 检查特征值或顺序主子式。

详细步骤：

1. 方法一：求特征值
   • 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
   • 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$，都是正数
2. 方法二：检查顺序主子式
   • $|A_1| = 2 > 0$
   • $|A_2| = 3 > 0$

答案：是正定矩阵

解题思路： 利用相似矩阵有相同特征多项式的性质。

详细步骤：

1. 设 $A \sim B$，即 $B = P^{-1}AP$
2. 相似矩阵有相同的特征多项式：$|A - \lambda I| = |B - \lambda I|$
3. 特征值是特征多项式的根
4. 所以 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值

答案：证明完成

解题思路： 利用对角化矩阵幂的性质。

详细步骤：

1. $A = PDP^{-1}$
2. $A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$
3. $D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)$

答案：$A^n = PD^nP^{-1}$，其中 $D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)$

解题思路： 用反证法证明。

详细步骤：

1. 假设对应于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 的特征向量 $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_k$ 线性相关
2. 则存在不全为零的常数 $c_1, c_2, \dots, c_k$，使得 $c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2 + \dots + c_k\vec{x}_k = \vec{0}$
3. 设 $c_1 \neq 0$，则 $\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\vec{x}_k$
4. 两边左乘 $A$：$A\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}A\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}A\vec{x}_k$
5. 即 $\lambda_1\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\lambda_2\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\lambda_k\vec{x}_k$
6. 这与特征值不同矛盾

答案：证明完成

解题思路： 按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$
2. 展开：$(1-\lambda)^2 = 0$
3. 求解：$\lambda = 1$（二重根）
4. 对于 $\lambda = 1$：
   • 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
   • $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

答案：特征值 $\lambda = 1$（二重根）；对应特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

解题思路： 利用实对称矩阵的性质证明。

详细步骤：

1. 设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\vec{x}$ 是对应的特征向量
2. $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$
3. 两边取共轭转置：$\vec{x}^*A^T = \lambda^*\vec{x}^*$
4. 由于 $A$ 是实对称矩阵，$A^T = A$，所以：$\vec{x}^*A = \lambda^*\vec{x}^*$
5. 两边右乘 $\vec{x}$：$\vec{x}^*A\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}$
6. 左边：$\vec{x}^*A\vec{x} = \vec{x}^*\lambda\vec{x} = \lambda\vec{x}^*\vec{x}$
7. 所以：$\lambda\vec{x}^*\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}$
8. 由于 $\vec{x} \neq \vec{0}$，所以 $\vec{x}^*\vec{x} > 0$，因此 $\lambda = \lambda^*$，即 $\lambda$ 是实数

答案：证明完成

解题思路： 利用实对称矩阵的性质证明。

详细步骤：

1. 实对称矩阵可以对角化
2. 实对称矩阵的特征向量可以正交化
3. 因此可以正交对角化

答案：证明完成