二次型的基本概念

二次型的定义

二次型的概念

定义：设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是 $n$ 个变量，形如： $Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$

的函数称为二次型，其中 $a_{ij}$ 是实数，且 $a_{ij} = a_{ji}$（对称性）。

二次型的例子

例 1：$Q(x_1, x_2) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ 是一个二次型。

例 2：$Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3$ 是一个二次型。

二次型的矩阵表示

矩阵表示的定义

定理：任何二次型都可以表示为： $Q(x) = x^TAx$

其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$，$A$ 是对称矩阵。

矩阵的构造方法

步骤：

1. 对角元素 $a_{ii}$ 是 $x_i^2$ 的系数
2. 非对角元素 $a_{ij} = a_{ji}$ 是 $x_ix_j$ 系数的一半

例子

例 3：将二次型 $Q(x_1, x_2) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ 表示为矩阵形式。

解：

1. 对角元素：$a_{11} = 2$，$a_{22} = 3$
2. 非对角元素：$a_{12} = a_{21} = \frac{4}{2} = 2$
3. 矩阵表示： $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
4. 二次型：$Q(x) = x^TAx = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

二次型的基本性质

对称性

性质 1：二次型的矩阵表示是对称矩阵。

证明：由于 $a_{ij} = a_{ji}$，所以 $A^T = A$。

线性变换下的性质

性质 2：设 $x = Py$ 是线性变换，则： $Q(x) = x^TAx = (Py)^TA(Py) = y^T(P^TAP)y$

二次型的分类

定义：

• 正定二次型：对任意非零向量 $x$，$Q(x) > 0$
• 负定二次型：对任意非零向量 $x$，$Q(x) < 0$
• 半正定二次型：对任意向量 $x$，$Q(x) \geq 0$
• 半负定二次型：对任意向量 $x$，$Q(x) \leq 0$
• 不定二次型：既不是正定也不是负定

二次型的几何意义

二维二次型

几何意义：二维二次型 $Q(x_1, x_2) = ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2$ 表示平面上的二次曲线。

分类：

• 正定：椭圆
• 负定：虚椭圆
• 不定：双曲线
• 退化：抛物线或直线

三维二次型

几何意义：三维二次型表示空间中的二次曲面。

分类：

• 正定：椭球面
• 负定：虚椭球面
• 不定：双曲面或抛物面

二次型的化简

配方法

方法：通过配方将二次型化为标准形。

例 4：化简二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2$。

解：

1. $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2$
2. $= x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2$
3. $= (x_1 + 2x_2)^2$
4. 令 $y_1 = x_1 + 2x_2$，$y_2 = x_2$
5. 则 $Q = y_1^2$

正交变换法

方法：通过正交变换将二次型化为标准形。

步骤：

1. 写出二次型的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征值和特征向量
3. 构造正交矩阵 $Q$
4. 作变换 $x = Qy$
5. 得到标准形 $Q = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \dots + \lambda_ny_n^2$

练习题

练习 1

写出二次型 $Q(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ 的矩阵表示。

练习 2

将二次型 $Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3$ 表示为矩阵形式。

练习 3

用配方法化简二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 6x_1x_2 + 9x_2^2$。

练习 4

判断二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_2^2$ 是否正定。

练习 5

写出二次型 $Q(x_1, x_2) = -x_1^2 - 2x_2^2$ 的矩阵表示，并判断其正定性。