合同变换与标准形

合同变换

合同变换的定义

定义：设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$，使得： $B = P^TAP$

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \cong B$。

合同变换的性质

性质 1：合同关系是等价关系（自反、对称、传递）。

性质 2：合同变换保持矩阵的对称性。

性质 3：合同变换保持矩阵的秩。

性质 4：合同变换保持矩阵的正定性。

合同变换的几何意义

几何意义：合同变换对应于坐标系的线性变换。

例子：设 $Q(x) = x^TAx$ 是二次型，作变换 $x = Py$，则： $Q(x) = x^TAx = (Py)^TA(Py) = y^T(P^TAP)y = y^TBy$

其中 $B = P^TAP$ 是合同变换。

标准形

标准形的定义

定义：如果二次型 $Q(x)$ 通过合同变换可以化为： $Q(x) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \dots + \lambda_ny_n^2$

则称这种形式为标准形。

标准形的求法

方法 1：正交变换法

步骤：

1. 写出二次型的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征值和特征向量
3. 构造正交矩阵 $Q$
4. 作变换 $x = Qy$
5. 得到标准形 $Q = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \dots + \lambda_ny_n^2$

方法 2：配方法

步骤：

1. 通过配方逐步消去交叉项
2. 得到标准形

例子

例 1：将二次型 $Q(x_1, x_2) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ 化为标准形。

解（正交变换法）：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
2. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0$
3. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 4$
4. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 4$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
5. 单位化：
   • $\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$
   • $\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$
6. 正交矩阵：$Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
7. 标准形：$Q = y_1^2 + 4y_2^2$

惯性定理

惯性定理的表述

定理（惯性定理）：设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 的正惯性指数和负惯性指数在合同变换下保持不变。

惯性指数的定义

定义：

• 正惯性指数：标准形中正系数的个数
• 负惯性指数：标准形中负系数的个数
• 零惯性指数：标准形中零系数的个数

惯性定理的证明

证明思路：

1. 设 $A$ 通过两种不同的合同变换化为标准形
2. 证明两种标准形的正负惯性指数相同
3. 利用二次型的几何性质证明

惯性定理的应用

应用 1：判断二次型的正定性

• 正定：正惯性指数等于 $n$，负惯性指数等于 $0$
• 负定：正惯性指数等于 $0$，负惯性指数等于 $n$
• 半正定：负惯性指数等于 $0$
• 半负定：正惯性指数等于 $0$

应用 2：判断矩阵的正定性

• 正定：所有特征值都是正数
• 负定：所有特征值都是负数
• 半正定：所有特征值都是非负数
• 半负定：所有特征值都是非正数

配方法

配方法的基本思想

思想：通过配方逐步消去交叉项，最终得到标准形。

配方法的步骤

步骤：

1. 选择一个变量，将其平方项和交叉项配方
2. 引入新的变量替换配方后的表达式
3. 重复上述过程，直到所有交叉项都被消去
4. 得到标准形

例子

例 2：用配方法将二次型 $Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3$ 化为标准形。

解：

1. $Q = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$
2. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 - x_2^2 - x_3^2 - 2x_2x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$
3. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 2x_2x_3 + 2x_3^2$
4. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 + x_3^2$
5. 令 $y_1 = x_1 + x_2 + x_3$，$y_2 = x_2 + x_3$，$y_3 = x_3$
6. 则 $Q = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$

练习题

练习 1

对 $Q(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ 作正交变换化为标准形。

练习 2

用配方法将二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2$ 化为标准形。

练习 3

写出惯性定理的内容。

练习 4

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 是否正定。

练习 5

用正交变换法将二次型 $Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3$ 化为标准形。