二次型综合练习题

解题思路： 按照矩阵表示的方法构造对称矩阵。

详细步骤：

1. 对角元素：$a_{11} = 2$，$a_{22} = 3$
2. 非对角元素：$a_{12} = a_{21} = \frac{4}{2} = 2$
3. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

答案：$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用正交变换法将二次型化为标准形。

详细步骤：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
2. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0$
3. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 4$
4. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 4$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
5. 单位化：
   • $\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$
   • $\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$
6. 正交矩阵：$Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
7. 标准形：$Q = y_1^2 + 4y_2^2$

答案：$Q = y_1^2 + 4y_2^2$

解题思路： 检查二次型的正定性。

详细步骤：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
2. 对任意非零向量 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，$Q(x) = x_1^2 + 2x_2^2 > 0$
3. 所以是正定二次型

答案：是正定二次型

解题思路： 回忆惯性定理的表述。

详细步骤：

惯性定理：设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 的正惯性指数和负惯性指数在合同变换下保持不变。

答案：合同变换不改变正负惯性指数

解题思路： 通过特征值或顺序主子式判断正定性。

详细步骤：

1. 方法一：求特征值
   • 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
   • 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$，都是正数
2. 方法二：检查顺序主子式
   • $|A_1| = 2 > 0$
   • $|A_2| = 3 > 0$

答案：是正定矩阵

解题思路： 按照矩阵表示的方法构造对称矩阵。

详细步骤：

1. 对角元素：$a_{11} = 1$，$a_{22} = 2$，$a_{33} = 3$
2. 非对角元素：$a_{12} = a_{21} = \frac{2}{2} = 1$，$a_{13} = a_{31} = \frac{2}{2} = 1$，$a_{23} = a_{32} = \frac{4}{2} = 2$
3. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

答案：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

解题思路： 通过配方将二次型化为标准形。

详细步骤：

1. $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2$
2. $= (x_1 + 2x_2)^2$
3. 令 $y_1 = x_1 + 2x_2$，$y_2 = x_2$
4. 则 $Q = y_1^2$

答案：$Q = y_1^2$，其中 $y_1 = x_1 + 2x_2$，$y_2 = x_2$

解题思路： 检查二次型的正定性。

详细步骤：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$
2. 对任意非零向量 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，$Q(x) = -x_1^2 - 2x_2^2 < 0$
3. 所以是负定二次型

答案：是负定二次型

解题思路： 使用正交变换法将二次型化为标准形。

详细步骤：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
2. 特征方程：$|A - \lambda I| = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 = 0$
3. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = 3$
4. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1, 0)$
   • $\lambda_2 = 2$：$\vec{x}_2 = (1, 0, -1)$
   • $\lambda_3 = 3$：$\vec{x}_3 = (1, 1, 1)$
5. 单位化：
   • $\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0)$
   • $\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, -1)$
   • $\vec{q}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
6. 标准形：$Q = y_1^2 + 2y_2^2 + 3y_3^2$

答案：$Q = y_1^2 + 2y_2^2 + 3y_3^2$

解题思路： 通过特征值判断正定性。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 2\lambda = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 2$
3. 有零特征值，所以不是正定矩阵
4. 但所有特征值都是非负数，所以是半正定矩阵

答案：是半正定矩阵

解题思路： 利用正定矩阵的特征值性质。

详细步骤：

1. 设 $A$ 是正定矩阵
2. 正定矩阵的所有特征值都是正数
3. 行列式等于特征值的积：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
4. 所有特征值都是正数，所以它们的积也是正数
5. 因此 $|A| > 0$

答案：证明完成

解题思路： 通过配方将二次型化为标准形。

详细步骤：

1. $Q = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$
2. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 - x_2^2 - x_3^2 - 2x_2x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$
3. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 2x_2x_3 + 2x_3^2$
4. $= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 + x_3^2$
5. 令 $y_1 = x_1 + x_2 + x_3$，$y_2 = x_2 + x_3$，$y_3 = x_3$
6. 则 $Q = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$

答案：$Q = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$，其中 $y_1 = x_1 + x_2 + x_3$，$y_2 = x_2 + x_3$，$y_3 = x_3$

解题思路： 检查二次型的正定性。

详细步骤：

1. 矩阵表示：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
2. 对向量 $x = (1, 0)$，$Q(x) = 1 > 0$
3. 对向量 $x = (0, 1)$，$Q(x) = -1 < 0$
4. 既有正值又有负值，所以是不定二次型

答案：是不定二次型

解题思路： 利用合同变换的定义和正定性的定义。

详细步骤：

1. 设 $A$ 是正定矩阵，$B = P^TAP$ 是合同变换
2. 对任意非零向量 $y$，$y^TBy = y^TP^TAPy = (Py)^TA(Py)$
3. 由于 $P$ 是可逆矩阵，$Py$ 也是非零向量
4. 由于 $A$ 是正定矩阵，$(Py)^TA(Py) > 0$
5. 所以 $y^TBy > 0$，即 $B$ 也是正定矩阵

答案：证明完成

解题思路： 通过特征值或顺序主子式判断正定性。

详细步骤：

1. 方法一：求特征值
   • 特征方程：$|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$
   • 特征值：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 4$，都是正数
2. 方法二：检查顺序主子式
   • $|A_1| = 3 > 0$
   • $|A_2| = 8 > 0$

答案：是正定矩阵