矩阵的基本概念

矩阵的定义

矩阵

矩阵是由数构成的矩形数表，通常用大写字母表示。一个 $m \times n$ 矩阵可以表示为：

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}$$

其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

矩阵的类型

1. 方阵

方阵

行数与列数相等的矩阵称为方阵，即 $m = n$。

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

2. 零矩阵

零矩阵

所有元素都为 0 的矩阵称为零矩阵，记作 $O$ 或 $0$。

例子： $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 单位矩阵

单位矩阵

主对角线元素为 1，其他元素为 0 的方阵称为单位矩阵，记作 $I$ 或 $E$。

例子： $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. 对角矩阵

对角矩阵

除主对角线外，其他元素都为 0 的方阵称为对角矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. 对称矩阵

对称矩阵

满足 $A^T = A$ 的方阵称为对称矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

6. 反对称矩阵

反对称矩阵

满足 $A^T = -A$ 的方阵称为反对称矩阵。

例子： $\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix}$

7. 上三角矩阵和下三角矩阵

上三角矩阵

主对角线以下（上）的元素都为 0 的方阵称为上三角矩阵（下三角矩阵）。

例子： 上三角矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

下三角矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

矩阵的基本运算

1. 矩阵加法

$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

2. 数乘

$kA = (ka_{ij})_{m \times n}$

例子： $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

3. 矩阵乘法

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

4. 矩阵转置

$A^T = (a_{ji})_{n \times m}$

例子： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

矩阵运算的性质

加法性质

• 交换律：$A + B = B + A$
• 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
• 零矩阵：$A + O = O + A = A$

数乘性质

• 分配律：$k(A + B) = kA + kB$
• 结合律：$(kl)A = k(lA)$
• 单位元：$1 \cdot A = A$

乘法性质

• 结合律：$(AB)C = A(BC)$
• 分配律：$A(B + C) = AB + AC$，$(A + B)C = AC + BC$
• 单位矩阵：$AI = IA = A$
• 零矩阵：$AO = OA = O$

注意：矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$。

转置性质

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

练习题

练习 1

判断下列矩阵的类型：

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
• $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路： 根据矩阵的定义判断类型。

详细步骤：

1. 矩阵 $A$：

   • 是方阵（2×2）
   • 主对角线元素为 1，其他元素为 0，是单位矩阵
   • 满足 $A^T = A$，是对称矩阵

2. 矩阵 $B$：

   • 是方阵（2×2）
   • 主对角线元素都为 0
   • 满足 $B^T = -B$，是反对称矩阵

3. 矩阵 $C$：

   • 是方阵（3×3）
   • 满足 $C^T = C$，是对称矩阵

答案：$A$ 是单位矩阵和对称矩阵，$B$ 是反对称矩阵，$C$ 是对称矩阵。

练习 2

计算 $A + B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路： 使用矩阵加法定义，对应元素相加。

详细步骤：

$A + B = \begin{pmatrix} 1+4 & 2+3 \\ 3+2 & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$

答案：$A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$

练习 3

计算 $2A - 3B$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路： 先计算数乘，再进行减法运算。

详细步骤：

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad 3B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

答案：$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

练习 4

计算 $AB$ 和 $BA$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路： 使用矩阵乘法定义，验证矩阵乘法不满足交换律。

详细步骤：

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times2+2\times1 & 1\times0+2\times3 \\ 0\times2+1\times1 & 0\times0+1\times3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times1+0\times0 & 2\times2+0\times1 \\ 1\times1+3\times0 & 1\times2+3\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

答案：$AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

注意：$AB \neq BA$，验证了矩阵乘法不满足交换律。

练习 5

验证 $(AB)^T = B^T A^T$，其中： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路： 分别计算 $(AB)^T$ 和 $B^T A^T$，验证它们相等。

详细步骤：

1. 计算 $AB$： $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

2. 计算 $(AB)^T$： $(AB)^T = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix}$

3. 计算 $A^T$ 和 $B^T$： $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B^T = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

4. 计算 $B^T A^T$： $B^T A^T = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix}$

答案：$(AB)^T = B^T A^T = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix}$，验证了转置性质。

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提示：矩阵的基本概念是线性代数的基础，要熟练掌握各种类型的矩阵和基本运算。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$A$	变量	Matrix A	表示矩阵
$I$	特殊矩阵	Identity matrix	表示单位矩阵
$O$	特殊矩阵	Zero matrix	表示零矩阵
$A^T$	操作	Transpose of A	表示矩阵的转置

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
矩阵	matrix	/ˈmeɪtrɪks/	由数构成的矩形数表
方阵	square matrix	/skweər ˈmeɪtrɪks/	行数与列数相等的矩阵
单位矩阵	identity matrix	/aɪˈdentəti ˈmeɪtrɪks/	主对角线为1的方阵
对称矩阵	symmetric matrix	/sɪˈmetrɪk ˈmeɪtrɪks/	满足 $A^T = A$ 的矩阵
矩阵加法	matrix addition	/ˈmeɪtrɪks əˈdɪʃən/	对应元素相加
矩阵乘法	matrix multiplication	/ˈmeɪtrɪks ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/	行乘列的运算

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