随机事件与样本空间

随机试验与样本空间

随机试验的定义

定义：在相同条件下可以重复进行，且每次试验的结果事先无法确定的试验称为随机试验。

随机试验的特点

特点：

1. 可重复性：试验可以在相同条件下重复进行
2. 不确定性：每次试验的结果事先无法确定
3. 可观测性：试验的结果是可以观测的

样本空间的定义

定义：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为 $\Omega$。

样本点的定义

定义：样本空间中的每个元素称为样本点，记为 $\omega$。

例子

例 1：抛一枚硬币的随机试验

• 样本空间：$\Omega = \{\text{正面}, \text{反面}\}$
• 样本点：$\omega_1 = \text{正面}$，$\omega_2 = \text{反面}$

例 2：掷一颗骰子的随机试验

• 样本空间：$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• 样本点：$\omega_i = i$，$i = 1, 2, \dots, 6$

例 3：测量某物体长度的随机试验

• 样本空间：$\Omega = [0, +\infty)$
• 样本点：$\omega \in [0, +\infty)$

随机事件

随机事件的定义

定义：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。

事件的分类

分类：

1. 必然事件：样本空间 $\Omega$ 本身
2. 不可能事件：空集 $\varnothing$
3. 基本事件：只包含一个样本点的事件
4. 复合事件：包含多个样本点的事件

事件的表示

表示方法：

1. 集合表示：$A = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$
2. 描述性表示：$A = \{\text{出现正面}\}$
3. 条件表示：$A = \{\omega : \omega \text{ 满足某条件}\}$

例子

例 4：掷一颗骰子，定义事件

• $A = \{\text{出现偶数}\} = \{2, 4, 6\}$
• $B = \{\text{出现大于3的数}\} = \{4, 5, 6\}$
• $C = \{\text{出现1}\} = \{1\}$（基本事件）

事件的关系与运算

事件的包含关系

定义：如果事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则称 $A$ 包含于 $B$，记为 $A \subset B$。

性质：

• $A \subset A$（自反性）
• 如果 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则 $A = B$（反对称性）
• 如果 $A \subset B$ 且 $B \subset C$，则 $A \subset C$（传递性）

事件的相等

定义：如果 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A = B$。

事件的并

定义：事件 $A$ 与 $B$ 的并，记为 $A \cup B$，表示 $A$ 发生或 $B$ 发生的事件。

性质：

• $A \cup A = A$（幂等性）
• $A \cup B = B \cup A$（交换性）
• $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$（结合性）

事件的交

定义：事件 $A$ 与 $B$ 的交，记为 $A \cap B$，表示 $A$ 发生且 $B$ 发生的事件。

性质：

• $A \cap A = A$（幂等性）
• $A \cap B = B \cap A$（交换性）
• $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$（结合性）

事件的差

定义：事件 $A$ 与 $B$ 的差，记为 $A - B$ 或 $A \setminus B$，表示 $A$ 发生但 $B$ 不发生的事件。

对立事件

定义：事件 $A$ 的对立事件，记为 $\overline{A}$ 或 $A^c$，表示 $A$ 不发生的事件。

性质：

• $A \cap \overline{A} = \varnothing$
• $A \cup \overline{A} = \Omega$
• $\overline{\overline{A}} = A$

互斥事件

定义：如果 $A \cap B = \varnothing$，则称事件 $A$ 与 $B$ 互斥（或不相容）。

事件的运算律

分配律：

• $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

德摩根律：

• $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
• $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

例子

例 5：掷骰子试验

设 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，定义事件：

• $A = \{\text{出现偶数}\} = \{2, 4, 6\}$
• $B = \{\text{出现大于3的数}\} = \{4, 5, 6\}$
• $C = \{\text{出现1}\} = \{1\}$

计算：

• $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$
• $A \cap B = \{4, 6\}$
• $A - B = \{2\}$
• $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$
• $A$ 与 $C$ 互斥

例 6：抛硬币试验

设 $\Omega = \{\text{正面}, \text{反面}\}$，定义事件：

• $A = \{\text{出现正面}\} = \{\text{正面}\}$
• $B = \{\text{出现反面}\} = \{\text{反面}\}$

性质：

• $A$ 与 $B$ 互斥
• $A \cup B = \Omega$
• $A = \overline{B}$，$B = \overline{A}$

练习题

练习 1

掷一颗骰子，定义事件 $A = \{\text{出现偶数}\}$，$B = \{\text{出现大于3的数}\}$，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$。

练习 2

设 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，求 $\overline{A}$ 和 $A - B$。

练习 3

证明德摩根律：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$。

练习 4

设 $A$ 和 $B$ 是任意事件，证明：$(A \cup B) \cap \overline{A} = B \cap \overline{A}$。

练习 5

设 $\Omega = \{a, b, c, d\}$，$A = \{a, b\}$，$B = \{b, c\}$，$C = \{c, d\}$，求 $(A \cup B) \cap C$。