概率的定义与性质

概率的定义

概率的直观定义

定义：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，取值范围在 $[0, 1]$ 之间。

概率的统计定义

定义：设 $A$ 是随机试验的一个事件，在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生的次数为 $m$，则称比值 $\frac{m}{n}$ 为事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生的频率。当 $n$ 充分大时，频率 $\frac{m}{n}$ 稳定在某个常数 $p$ 附近，则称 $p$ 为事件 $A$ 的概率，记为 $P(A) = p$。

古典概型

古典概型的定义

定义：如果随机试验满足以下条件：

1. 样本空间 $\Omega$ 是有限集
2. 每个样本点发生的可能性相等

则称该随机试验为古典概型。

古典概型的概率计算公式

公式：在古典概型中，事件 $A$ 的概率为： $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{A \text{ 包含的样本点数}}{\text{样本空间的总样本点数}}$

古典概型的例子

例 1：抛一枚均匀硬币

• 样本空间：$\Omega = \{\text{正面}, \text{反面}\}$
• $P(\{\text{正面}\}) = \frac{1}{2}$
• $P(\{\text{反面}\}) = \frac{1}{2}$

例 2：掷一颗均匀骰子

• 样本空间：$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• $P(\{\text{出现偶数}\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• $P(\{\text{出现大于3的数}\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

例 3：从 $n$ 个球中随机抽取 $r$ 个球

• 样本空间：所有可能的 $r$ 个球的组合
• $|\Omega| = C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• $P(A) = \frac{|A|}{C_n^r}$

几何概型

几何概型的定义

定义：如果随机试验的样本空间 $\Omega$ 是一个几何区域，且每个样本点发生的可能性相等，则称该随机试验为几何概型。

几何概型的概率计算公式

公式：在几何概型中，事件 $A$ 的概率为： $P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}$

其中 $m(A)$ 和 $m(\Omega)$ 分别表示事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$ 的几何度量（长度、面积、体积等）。

几何概型的例子

例 4：在区间 $[0, 1]$ 上随机取一点

• 样本空间：$\Omega = [0, 1]$
• $P(\text{取到 } [a, b]) = \frac{b-a}{1} = b-a$

例 5：在单位圆内随机取一点

• 样本空间：单位圆内所有点
• $P(\text{取到距离圆心小于 } r \text{ 的点}) = \frac{\pi r^2}{\pi} = r^2$

例 6：在单位正方形内随机取一点

• 样本空间：单位正方形内所有点
• $P(\text{取到第一象限的点}) = \frac{1}{4}$

概率的基本性质

非负性

性质 1：对任意事件 $A$，有 $0 \leq P(A) \leq 1$。

规范性

性质 2：$P(\Omega) = 1$，$P(\varnothing) = 0$。

有限可加性

性质 3：如果事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 两两互斥，则： $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)$

对立事件的概率

性质 4：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。

单调性

性质 5：如果 $A \subset B$，则 $P(A) \leq P(B)$。

概率的加法公式

一般加法公式

公式：对任意两个事件 $A$ 和 $B$，有： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

加法公式的推广

推广：对任意 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$，有： $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$

加法公式的证明

证明：

1. $A \cup B = A \cup (B - A)$
2. $A$ 与 $B - A$ 互斥
3. 所以 $P(A \cup B) = P(A) + P(B - A)$
4. 又 $B = (B - A) \cup (A \cap B)$
5. 所以 $P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$
6. 因此 $P(B - A) = P(B) - P(A \cap B)$
7. 代入得 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

例子

例 7：抛硬币两次

问题：抛一枚均匀硬币两次，求出现一次正面事件的概率。

解：

1. 样本空间：$\Omega = \{(\text{正},\text{正}), (\text{正},\text{反}), (\text{反},\text{正}), (\text{反},\text{反})\}$
2. 事件 $A = \{\text{出现一次正面}\} = \{(\text{正},\text{反}), (\text{反},\text{正})\}$
3. $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

例 8：掷骰子

问题：掷一颗均匀骰子，求出现偶数或大于 3 的数的概率。

解：

1. 设 $A = \{\text{出现偶数}\} = \{2, 4, 6\}$
2. 设 $B = \{\text{出现大于3的数}\} = \{4, 5, 6\}$
3. $A \cap B = \{4, 6\}$
4. $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
5. $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
6. $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
7. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

练习题

练习 1

抛一枚均匀硬币两次，求出现一次正面事件的概率。

练习 2

已知 $P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A \cap B) = 0.2$，求 $P(A \cup B)$。

练习 3

掷一颗均匀骰子，求出现偶数或大于 3 的数的概率。

练习 4

在区间 $[0, 1]$ 上随机取一点，求取到 $[0.3, 0.7]$ 的概率。

练习 5

证明：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。