随机变量与分布

随机变量的定义

随机变量的概念

定义：设 $\Omega$ 是随机试验的样本空间，如果对于 $\Omega$ 中的每个样本点 $\omega$，都有一个实数 $X(\omega)$ 与之对应，则称 $X(\omega)$ 为随机变量，简记为 $X$。

随机变量的分类

分类：

1. 离散型随机变量：取值是有限个或可列无限个的随机变量
2. 连续型随机变量：取值是某个区间上的所有实数的随机变量
3. 混合型随机变量：既不是离散型也不是连续型的随机变量

随机变量的例子

例 1：掷一颗骰子，用 $X$ 表示出现的点数

• $X$ 是离散型随机变量
• $X$ 的可能取值为：$1, 2, 3, 4, 5, 6$

例 2：测量某物体的长度，用 $X$ 表示测量结果

• $X$ 是连续型随机变量
• $X$ 的可能取值为：$[0, +\infty)$

例 3：抛一枚硬币，用 $X$ 表示出现正面的次数

• $X$ 是离散型随机变量
• $X$ 的可能取值为：$0, 1$

离散型随机变量的分布律

分布律的定义

定义：设 $X$ 是离散型随机变量，其所有可能取值为 $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$，则称： $P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \dots, n, \dots$

为 $X$ 的分布律或概率分布。

分布律的性质

性质 1：$p_i \geq 0$，$i = 1, 2, \dots$

性质 2：$\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1$

分布律的表示方法

方法 1：表格法

方法 2：公式法 $P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \dots$

分布律的例子

例 4：掷一颗均匀骰子，用 $X$ 表示出现的点数

• 分布律：$P(X = i) = \frac{1}{6}$，$i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

例 5：抛一枚硬币，用 $X$ 表示出现正面的次数

• 分布律：$P(X = 0) = \frac{1}{2}$，$P(X = 1) = \frac{1}{2}$

连续型随机变量的概率密度函数

概率密度函数的定义

定义：设 $X$ 是连续型随机变量，如果存在非负函数 $f(x)$，使得对任意实数 $a < b$，都有： $P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$

则称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称密度函数。

概率密度函数的性质

性质 1：$f(x) \geq 0$，$-\infty < x < +\infty$

性质 2：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$

性质 3：$P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$

概率密度函数的例子

例 6：在区间 $[0, 1]$ 上均匀分布的随机变量

• 密度函数：$f(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

例 7：标准正态分布的随机变量

• 密度函数：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$，$-\infty < x < +\infty$

分布函数

分布函数的定义

定义：设 $X$ 是随机变量，称函数： $F(x) = P(X \leq x), \quad -\infty < x < +\infty$

为 $X$ 的分布函数。

分布函数的性质

性质 1：$0 \leq F(x) \leq 1$，$-\infty < x < +\infty$

性质 2：$F(x)$ 是单调不减函数

性质 3：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$

性质 4：$F(x)$ 是右连续函数

分布函数与分布律的关系

离散型随机变量： $F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$

分布函数与密度函数的关系

连续型随机变量： $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$

导数关系： $f(x) = F'(x)$

分布函数的例子

例 8：掷一颗骰子的分布函数

例 9：均匀分布 $[0, 1]$ 的分布函数

常见的离散型分布

两点分布（伯努利分布）

定义：如果随机变量 $X$ 只取两个值 $0$ 和 $1$，且 $P(X = 1) = p$，$P(X = 0) = 1-p$，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的两点分布，记为 $X \sim B(1, p)$。

分布律： $P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k = 0, 1$

二项分布

定义：如果随机变量 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数，且每次试验中 $P(A) = p$，则称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，记为 $X \sim B(n, p)$。

分布律： $P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n$

泊松分布

定义：如果随机变量 $X$ 的分布律为： $P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$。

常见的连续型分布

均匀分布

定义：如果随机变量 $X$ 的概率密度函数为：

则称 $X$ 服从区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，记为 $X \sim U(a, b)$。

指数分布

定义：如果随机变量 $X$ 的概率密度函数为：

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda)$。

正态分布

定义：如果随机变量 $X$ 的概率密度函数为： $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$

则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma^2$ 的正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

练习题

练习 1

已知随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=3)=0.3$，求 $X$ 的分布函数。

练习 2

已知随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\begin{cases} 0, x<0 \\ x, 0\leq x<1 \\ 1, x\geq1 \end{cases}$，求 $X$ 的概率密度函数。

练习 3

掷两颗骰子，用 $X$ 表示两颗骰子点数之和，求 $X$ 的分布律。

练习 4

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，求 $X$ 的分布函数。

练习 5

证明：对于任意随机变量 $X$，其分布函数 $F(x)$ 满足 $0 \leq F(x) \leq 1$。