数学期望基础概念

数学期望的定义

离散型随机变量的数学期望

定义：设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为 $P(X = x_i) = p_i$，$i = 1, 2, \dots$，如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$ 绝对收敛，则称： $E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$

为 $X$ 的数学期望，简称期望。

连续型随机变量的数学期望

定义：设 $X$ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $f(x)$，如果积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$ 绝对收敛，则称： $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$

为 $X$ 的数学期望。

数学期望的直观理解

理解：数学期望是随机变量取值的”平均”水平，它反映了随机变量在大量重复试验中的中心趋势。

数学期望的例子

例 1：掷一颗均匀骰子，用 $X$ 表示出现的点数

• 分布律：$P(X = i) = \frac{1}{6}$，$i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
• $E(X) = \sum_{i=1}^6 i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$

例 2：在区间 $[0, 1]$ 上均匀分布的随机变量 $X$

• 密度函数：$f(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
• $E(X) = \int_0^1 x \cdot 1 dx = \frac{x^2}{2}\big|_0^1 = \frac{1}{2}$

数学期望的基本性质

线性性质

性质 1：$E(aX + b) = aE(X) + b$，其中 $a, b$ 是常数。

性质 2：$E(c) = c$，其中 $c$ 是常数。

性质 3：$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

性质 4：$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，其中 $a, b$ 是常数。

独立随机变量的期望

性质 5：如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$

练习题

练习 1

已知 $X$ 的分布律为 $P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=3)=0.3$，求 $E(X)$。

练习 2

已知 $E(X)=2, D(X)=3$，求 $E(3X-1)$。