大数定律和中心极限定理综合练习题

解题思路： 使用切比雪夫不等式。

详细步骤：

1. 切比雪夫不等式：$P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
2. 这里 $\mu = 0$，$\sigma^2 = 4$，$\varepsilon = 3$
3. $P(|X| \geq 3) \leq \frac{4}{9} \approx 0.444$

答案：$\frac{4}{9}$

解题思路： 解释伯努利大数定律的直观含义。

详细步骤：

1. 伯努利大数定律表明：在大量独立重复试验中，事件发生的频率依概率收敛于其概率
2. 这意味着当试验次数足够大时，事件发生的频率会非常接近其真实概率
3. 这为概率的统计定义提供了理论基础

答案：大量独立重复试验中，事件发生的频率趋于概率

解题思路： 写出样本均值的中心极限定理。

详细步骤：

1. 样本均值：$\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
2. 标准化：$\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
3. 中心极限定理：$\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$

答案：$\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$

解题思路： 使用棣莫弗-拉普拉斯定理。

详细步骤：

1. 二项分布 $B(n,p)$ 的期望：$E(X) = np$
2. 二项分布 $B(n,p)$ 的方差：$D(X) = np(1-p)$
3. 由棣莫弗-拉普拉斯定理，$B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$

答案：$B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$

解题思路： 比较大数定律和中心极限定理的不同点。

详细步骤：

1. 大数定律：关注样本均值收敛于期望，只说明收敛性
2. 中心极限定理：关注样本均值的分布趋于正态分布，说明了分布的形状
3. 大数定律：是中心极限定理的基础
4. 中心极限定理：比大数定律提供了更精确的信息

答案：大数定律关注样本均值收敛于期望，中心极限定理关注和的分布趋于正态

解题思路： 先求 $P(|X - 5| \geq 3)$ 的上界，再用补集关系。

详细步骤：

1. $P(|X - 5| \geq 3) \leq \frac{9}{9} = 1$
2. $P(|X - 5| < 3) \geq 1 - 1 = 0$
3. 由于 $2 < X < 8$ 等价于 $|X - 5| < 3$，所以 $P(2 < X < 8) \geq 0$

答案：$0$

解题思路： 使用切比雪夫不等式证明。

详细步骤：

1. $E(\overline{X}_n) = \mu$
2. $D(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$
3. 由切比雪夫不等式： $P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$
4. 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$
5. 所以 $\overline{X}_n \xrightarrow{P} \mu$

答案：证明完成

解题思路： 使用棣莫弗-拉普拉斯定理进行近似。

详细步骤：

1. $E(X) = 100 \times 0.3 = 30$
2. $D(X) = 100 \times 0.3 \times 0.7 = 21$
3. $\sigma = \sqrt{21} \approx 4.58$
4. $P(25 \leq X \leq 35) \approx P(\frac{25-30}{4.58} \leq Z \leq \frac{35-30}{4.58})$
5. $= P(-1.09 \leq Z \leq 1.09) = 2\Phi(1.09) - 1 \approx 0.724$

答案：约 $0.724$

解题思路： 使用期望和方差的性质。

详细步骤：

1. $E(\overline{X}_n) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \mu$
2. $D(\overline{X}_n) = D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}$

答案：$E(\overline{X}_n) = \mu$，$D(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$

解题思路： 计算正态分布的实际概率与切比雪夫不等式上界的比较。

详细步骤：

1. 对于正态分布，$P(|X - \mu| \geq 2\sigma) = 2(1 - \Phi(2)) \approx 0.0455$
2. 切比雪夫不等式给出：$P(|X - \mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{4} = 0.25$
3. 实际概率 $0.0455$ 远小于上界 $0.25$，说明切比雪夫不等式比较保守

答案：切比雪夫不等式给出的上界比实际概率大很多，说明它比较保守

解题思路： 使用样本均值的中心极限定理。

详细步骤：

1. 样本均值：$\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
2. 由中心极限定理，$\overline{X}_n \xrightarrow{d} N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
3. 即 $\overline{X}_n$ 的渐近分布为 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

答案：$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

解题思路： 使用列维-林德伯格定理。

详细步骤：

1. 设 $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$
2. $E(S_n) = n\mu$，$D(S_n) = n\sigma^2$
3. 标准化：$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$
4. 由列维-林德伯格定理，趋于 $N(0,1)$

答案：证明完成

解题思路： 直接使用切比雪夫不等式。

详细步骤：

1. $P(|X - 10| \geq 8) \leq \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$

答案：$\frac{1}{4}$

解题思路： 使用切比雪夫不等式，令 $\varepsilon = k\sigma$。

详细步骤：

1. 切比雪夫不等式：$P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
2. 令 $\varepsilon = k\sigma$，则： $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{\sigma^2}{(k\sigma)^2} = \frac{1}{k^2}$

答案：证明完成

解题思路： 使用棣莫弗-拉普拉斯定理进行近似。

详细步骤：

1. $E(X) = 200 \times 0.4 = 80$
2. $D(X) = 200 \times 0.4 \times 0.6 = 48$
3. $\sigma = \sqrt{48} \approx 6.93$
4. $P(70 \leq X \leq 90) \approx P(\frac{70-80}{6.93} \leq Z \leq \frac{90-80}{6.93})$
5. $= P(-1.44 \leq Z \leq 1.44) = 2\Phi(1.44) - 1 \approx 0.850$

答案：约 $0.850$