假设检验的基本思想与步骤

假设检验的基本概念

假设检验的定义

定义：假设检验是统计推断的一个重要分支，它通过样本信息来判断关于总体参数的某种假设是否成立。其基本思想是：在某种假设成立的条件下，样本观测值出现的概率很小，如果实际观测到的样本值确实很小，则怀疑原假设的正确性。

假设检验的直观理解

理解：假设检验类似于法庭审判，原假设相当于”无罪推定”，备择假设相当于”有罪指控”。我们通过证据（样本数据）来判断是否拒绝原假设。

假设检验的基本要素

原假设 $H_0$：通常是我们想要拒绝的假设，表示”无差异”、“无效果”等 备择假设 $H_1$：通常是我们想要接受的假设，表示”有差异”、“有效果”等 显著性水平 $\alpha$：犯第一类错误的概率，通常取 0.05 或 0.01 检验统计量：用于判断是否拒绝原假设的统计量 拒绝域：检验统计量的取值区域，当统计量落在此区域时拒绝原假设

假设检验的基本步骤

第一步：提出假设

原假设 $H_0$：$\theta = \theta_0$ 或 $\theta \leq \theta_0$ 或 $\theta \geq \theta_0$ 备择假设 $H_1$：$\theta \neq \theta_0$ 或 $\theta > \theta_0$ 或 $\theta < \theta_0$

例 1：检验总体均值是否等于某个值

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$

第二步：选定检验统计量

选择原则：

1. 在原假设成立的条件下，检验统计量的分布已知
2. 检验统计量能够区分原假设和备择假设
3. 检验统计量的计算相对简单

例 2：对于正态总体均值检验（方差已知）

• 检验统计量：$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

第三步：确定拒绝域

双侧检验：$|Z| > z_{\alpha/2}$ 单侧检验：$Z > z_{\alpha}$ 或 $Z < -z_{\alpha}$

例 3：对于显著性水平 $\alpha = 0.05$ 的双侧检验

• 拒绝域：$|Z| > 1.96$

第四步：计算样本值

计算：将样本数据代入检验统计量，得到具体的数值。

例 4：样本均值 $\overline{x} = 52$，总体标准差 $\sigma = 10$，样本量 $n = 25$，检验 $\mu_0 = 50$

• $z = \frac{52 - 50}{10/\sqrt{25}} = 1$

第五步：作出结论

判断：如果检验统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则接受原假设。

例 5：对于例 4，$z = 1 < 1.96$，不拒绝原假设。

两类错误

第一类错误（拒真错误）

定义：当原假设 $H_0$ 为真时，却拒绝了 $H_0$ 的错误。

概率：$P(\text{拒绝}H_0|H_0\text{为真}) = \alpha$

意义：第一类错误是”冤枉好人”的错误，其概率就是显著性水平 $\alpha$。

例 6：在例 4 中，如果 $\mu = 50$（原假设为真），但 $|Z| > 1.96$，则犯了第一类错误。

第二类错误（受伪错误）

定义：当原假设 $H_0$ 为假时，却接受了 $H_0$ 的错误。

概率：$P(\text{接受}H_0|H_1\text{为真}) = \beta$

意义：第二类错误是”放过坏人”的错误。

例 7：在例 4 中，如果 $\mu = 55$（原假设为假），但 $|Z| \leq 1.96$，则犯了第二类错误。

两类错误的关系

关系：在样本量固定的情况下，减小 $\alpha$ 会增加 $\beta$，减小 $\beta$ 会增加 $\alpha$。

权衡：通常优先控制第一类错误的概率，因为第一类错误的后果通常更严重。

功效函数

定义：功效函数 $1 - \beta$ 表示在原假设为假时拒绝原假设的概率。

意义：功效函数越大，检验的效果越好。

显著性水平与 P 值

显著性水平

定义：显著性水平 $\alpha$ 是犯第一类错误的最大概率。

常用值：$\alpha = 0.05$（5%），$\alpha = 0.01$（1%），$\alpha = 0.10$（10%）

选择：根据问题的严重性和后果来选择显著性水平。

P 值

定义：P 值是在原假设为真的条件下，检验统计量取到比观测值更极端的值的概率。

计算：

• 双侧检验：$P = 2P(Z > |z|)$
• 单侧检验：$P = P(Z > z)$ 或 $P = P(Z < z)$

判断：如果 $P < \alpha$，则拒绝原假设；否则接受原假设。

例 8：对于例 4，$z = 1$，$P = 2P(Z > 1) = 2 \times 0.1587 = 0.3174 > 0.05$，不拒绝原假设。

假设检验的类型

双侧检验

形式：$H_0: \theta = \theta_0$，$H_1: \theta \neq \theta_0$

拒绝域：$|T| > t_{\alpha/2}$

应用：当我们关心参数是否等于某个值时使用。

单侧检验

左单侧检验：$H_0: \theta \geq \theta_0$，$H_1: \theta < \theta_0$ 右单侧检验：$H_0: \theta \leq \theta_0$，$H_1: \theta > \theta_0$

拒绝域：$T < -t_{\alpha}$ 或 $T > t_{\alpha}$

应用：当我们关心参数是否大于或小于某个值时使用。

假设检验的决策规则

临界值法

步骤：

1. 根据显著性水平确定临界值
2. 计算检验统计量的值
3. 比较检验统计量与临界值
4. 作出决策

优点：直观明确 缺点：需要查表

P 值法

步骤：

1. 计算 P 值
2. 比较 P 值与显著性水平
3. 作出决策

优点：不需要查表，可以精确判断 缺点：计算相对复杂

假设检验的注意事项

样本量的影响

影响：样本量越大，检验的功效越高，犯第二类错误的概率越小。

原因：样本量越大，估计越精确，更容易检测到真实的差异。

效应量

定义：效应量是衡量实际差异大小的指标。

意义：即使统计上显著，如果效应量很小，实际意义可能不大。

多重比较

问题：进行多个假设检验时，犯第一类错误的概率会增加。

解决方法：使用多重比较校正方法，如 Bonferroni 校正。

假设检验的应用

在质量控制中的应用

应用 1：检验产品质量是否达到标准 应用 2：检验生产过程是否稳定

在医学研究中的应用

应用 3：检验新药是否有效 应用 4：检验治疗方法是否有差异

在社会科学中的应用

应用 5：检验调查结果是否有差异 应用 6：检验政策效果是否显著

练习题

练习 1

简述假设检验的一般步骤。

练习 2

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 已知，检验 $H_0: \mu=\mu_0$，写出检验统计量。

练习 3

说明第一类错误和第二类错误的含义。

练习 4

设显著性水平 $\alpha = 0.05$，P 值 $P = 0.03$，应该拒绝还是接受原假设？

练习 5

设检验统计量 $Z = 2.5$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，进行双侧检验，应该拒绝还是接受原假设？