单个正态总体的假设检验

单个正态总体均值检验

方差已知的情况（Z 检验）

总体：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知

假设：

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$（双侧检验）
• $H_1: \mu > \mu_0$（右单侧检验）
• $H_1: \mu < \mu_0$（左单侧检验）

检验统计量： $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

拒绝域：

• 双侧检验：$|Z| > z_{\alpha/2}$
• 右单侧检验：$Z > z_{\alpha}$
• 左单侧检验：$Z < -z_{\alpha}$

例 1：某工厂生产的零件长度服从正态分布 $N(\mu, 0.04)$，从产品中随机抽取 16 个零件，测得平均长度为 10.2cm。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验零件长度是否等于 10cm。

解：

1. 提出假设：$H_0: \mu = 10$，$H_1: \mu \neq 10$
2. 检验统计量：$Z = \frac{\overline{X} - 10}{\sqrt{0.04}/\sqrt{16}} = \frac{10.2 - 10}{0.2/4} = 4$
3. 拒绝域：$|Z| > 1.96$
4. 判断：$|Z| = 4 > 1.96$，拒绝原假设
5. 结论：零件长度不等于 10cm

方差未知的情况（T 检验）

总体：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知

假设：

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$（双侧检验）
• $H_1: \mu > \mu_0$（右单侧检验）
• $H_1: \mu < \mu_0$（左单侧检验）

检验统计量： $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

拒绝域：

• 双侧检验：$|T| > t_{\alpha/2}(n-1)$
• 右单侧检验：$T > t_{\alpha}(n-1)$
• 左单侧检验：$T < -t_{\alpha}(n-1)$

例 2：某品牌电池的使用寿命服从正态分布，从该品牌电池中随机抽取 10 个，测得平均使用寿命为 120 小时，样本标准差为 8 小时。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验电池平均使用寿命是否大于 115 小时。

解：

1. 提出假设：$H_0: \mu \leq 115$，$H_1: \mu > 115$
2. 检验统计量：$T = \frac{120 - 115}{8/\sqrt{10}} = \frac{5}{2.53} = 1.98$
3. 拒绝域：$T > t_{0.05}(9) = 1.833$
4. 判断：$T = 1.98 > 1.833$，拒绝原假设
5. 结论：电池平均使用寿命大于 115 小时

单个正态总体方差检验（卡方检验）

均值已知的情况

总体：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 已知

假设：

• $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$
• $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$（双侧检验）
• $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$（右单侧检验）
• $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$（左单侧检验）

检验统计量： $\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$

拒绝域：

• 双侧检验：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n)$
• 右单侧检验：$\chi^2 > \chi^2_{\alpha}(n)$
• 左单侧检验：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n)$

均值未知的情况

总体：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知

假设：

• $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$
• $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$（双侧检验）
• $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$（右单侧检验）
• $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$（左单侧检验）

检验统计量： $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

拒绝域：

• 双侧检验：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$
• 右单侧检验：$\chi^2 > \chi^2_{\alpha}(n-1)$
• 左单侧检验：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$

例 3：某工厂生产的零件长度服从正态分布，从产品中随机抽取 10 个零件，测得样本方差为 0.04。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验零件长度的方差是否等于 0.03。

解：

1. 提出假设：$H_0: \sigma^2 = 0.03$，$H_1: \sigma^2 \neq 0.03$
2. 检验统计量：$\chi^2 = \frac{(10-1) \times 0.04}{0.03} = \frac{9 \times 0.04}{0.03} = 12$
3. 拒绝域：$\chi^2 < \chi^2_{0.975}(9) = 2.7$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{0.025}(9) = 19.0$
4. 判断：$2.7 < \chi^2 = 12 < 19.0$，不拒绝原假设
5. 结论：零件长度的方差等于 0.03

检验方法的比较

Z 检验与 T 检验的比较

Z 检验：

• 适用条件：方差已知
• 检验统计量：$Z \sim N(0,1)$
• 优点：计算简单，不需要查 t 分布表
• 缺点：需要知道总体方差

T 检验：

• 适用条件：方差未知
• 检验统计量：$T \sim t(n-1)$
• 优点：不需要知道总体方差
• 缺点：需要查 t 分布表

均值检验与方差检验的比较

均值检验：

• 检验对象：总体均值
• 应用场景：检验产品质量、治疗效果等
• 检验统计量：Z 统计量或 T 统计量

方差检验：

• 检验对象：总体方差
• 应用场景：检验生产稳定性、测量精度等
• 检验统计量：卡方统计量

检验的功效分析

功效函数

定义：功效函数 $1 - \beta$ 表示在原假设为假时拒绝原假设的概率。

影响因素：

1. 样本量：样本量越大，功效越高
2. 显著性水平：显著性水平越高，功效越高
3. 效应量：效应量越大，功效越高

样本量的确定

问题：给定显著性水平、功效和效应量，确定所需的样本量。

例 4：对于正态总体均值检验，给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，功效 $1 - \beta = 0.8$，效应量 $d = 0.5$，求样本量 $n$。

解：

1. 使用功效分析公式
2. 查表或使用软件计算
3. 得到 $n \approx 26$

检验的假设条件

正态性假设

重要性：正态性假设是进行 Z 检验和 T 检验的基础。

检验方法：

1. 图形法：Q-Q 图、直方图
2. 统计检验：Shapiro-Wilk 检验、Kolmogorov-Smirnov 检验

处理非正态数据：

1. 数据变换：对数变换、平方根变换等
2. 非参数检验：Wilcoxon 符号秩检验等

独立性假设

重要性：样本观测值之间应该相互独立。

检验方法：

1. 时间序列分析：自相关函数
2. 空间数据分析：空间自相关

检验的注意事项

多重比较问题

问题：进行多个假设检验时，犯第一类错误的概率会增加。

解决方法：

1. Bonferroni 校正：将显著性水平除以检验次数
2. Holm 校正：逐步调整显著性水平
3. FDR 控制：控制错误发现率

效应量

定义：效应量是衡量实际差异大小的指标。

常用效应量：

1. Cohen’s d：$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma}$
2. 相关系数：$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + df}}$

意义：即使统计上显著，如果效应量很小，实际意义可能不大。

练习题

练习 1

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 已知，检验 $H_0: \mu=\mu_0$，写出检验统计量。

练习 2

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 未知，检验 $H_0: \mu=\mu_0$，写出检验统计量。

练习 3

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知，检验 $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2$，写出检验统计量。

练习 4

设样本均值 $\overline{x} = 52$，总体标准差 $\sigma = 10$，样本量 $n = 25$，检验 $H_0: \mu = 50$，$H_1: \mu \neq 50$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。

练习 5

设样本均值 $\overline{x} = 120$，样本标准差 $s = 8$，样本量 $n = 10$，检验 $H_0: \mu \leq 115$，$H_1: \mu > 115$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。