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假设检验综合练习题

练习题

练习 1

简述假设检验的一般步骤。

参考答案

解题思路： 列出假设检验的五个基本步骤。

详细步骤：

  1. 提出假设：确定原假设 H0H_0 和备择假设 H1H_1
  2. 选定统计量：选择合适的检验统计量
  3. 确定拒绝域：根据显著性水平确定拒绝域
  4. 计算样本值：将样本数据代入检验统计量
  5. 作出结论：根据检验统计量的值作出决策

答案：提出假设 → 选定统计量 → 确定拒绝域 → 计算样本值 → 作出结论

练习 2

设 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)，σ\sigma 已知，检验 H0:μ=μ0H_0: \mu=\mu_0，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用正态分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：Z=X‾−μ0σ/nZ = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
  2. 在原假设成立的条件下，Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1)

答案：Z=X‾−μ0σ/nZ = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

练习 3

说明第一类错误和第二类错误的含义。

参考答案

解题思路： 解释两类错误的定义和含义。

详细步骤：

  1. 第一类错误：当原假设 H0H_0 为真时，却拒绝了 H0H_0 的错误
  2. 第二类错误：当原假设 H0H_0 为假时，却接受了 H0H_0 的错误
  3. 第一类错误概率：α\alpha，即显著性水平
  4. 第二类错误概率：β\beta

答案：第一类错误是拒真，第二类错误是受伪

练习 4

两正态总体方差未知但相等，检验均值差应选用哪种检验？

参考答案

解题思路： 根据检验条件选择合适的检验方法。

详细步骤：

  1. 检验两个正态总体均值差
  2. 方差未知但相等
  3. 使用双样本 T 检验
  4. 检验统计量：T=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)Sp1n1+1n2T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

答案：双样本 T 检验

练习 5

设两总体方差分别为 σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2，检验 H0:σ12=σ22H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2，应选用哪种检验？

参考答案

解题思路： 根据检验对象选择合适的检验方法。

详细步骤：

  1. 检验两个正态总体方差比
  2. 使用 F 检验
  3. 检验统计量：F=S12S22∼F(n1−1,n2−1)F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)

答案：F 检验

练习 6

设显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05，P 值 P=0.03P = 0.03，应该拒绝还是接受原假设？

参考答案

解题思路： 比较 P 值与显著性水平。

详细步骤：

  1. P=0.03<α=0.05P = 0.03 < \alpha = 0.05
  2. 根据 P 值法，当 P<αP < \alpha 时拒绝原假设
  3. 因此应该拒绝原假设

答案：拒绝原假设

练习 7

设检验统计量 Z=2.5Z = 2.5，显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05，进行双侧检验，应该拒绝还是接受原假设？

参考答案

解题思路： 比较检验统计量与临界值。

详细步骤：

  1. 双侧检验的临界值：z0.025=1.96z_{0.025} = 1.96
  2. ∣Z∣=2.5>1.96|Z| = 2.5 > 1.96
  3. 检验统计量落在拒绝域内
  4. 因此应该拒绝原假设

答案：拒绝原假设

练习 8

设 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)，σ\sigma 未知，检验 H0:μ=μ0H_0: \mu=\mu_0，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用 t 分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：T=X‾−μ0S/nT = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}
  2. 在原假设成立的条件下，T∼t(n−1)T \sim t(n-1)

答案：T=X‾−μ0S/nT = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}

练习 9

设 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)，μ\mu 未知，检验 H0:σ2=σ02H_0: \sigma^2=\sigma_0^2，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用卡方分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：χ2=(n−1)S2σ02\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}
  2. 在原假设成立的条件下，χ2∼χ2(n−1)\chi^2 \sim \chi^2(n-1)

答案：χ2=(n−1)S2σ02\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}

练习 10

设样本均值 x‾=52\overline{x} = 52，总体标准差 σ=10\sigma = 10，样本量 n=25n = 25，检验 H0:μ=50H_0: \mu = 50，H1:μ≠50H_1: \mu \neq 50，显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05。

参考答案

解题思路： 使用 Z 检验进行双侧检验。

详细步骤：

  1. 检验统计量：Z=52−5010/25=1Z = \frac{52 - 50}{10/\sqrt{25}} = 1
  2. 拒绝域：∣Z∣>1.96|Z| > 1.96
  3. 判断：∣Z∣=1<1.96|Z| = 1 < 1.96，不拒绝原假设
  4. 结论：总体均值等于 50

答案：不拒绝原假设

练习 11

设样本均值 x‾=120\overline{x} = 120，样本标准差 s=8s = 8，样本量 n=10n = 10，检验 H0:μ≤115H_0: \mu \leq 115，H1:μ>115H_1: \mu > 115，显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05。

参考答案

解题思路： 使用 T 检验进行右单侧检验。

详细步骤：

  1. 检验统计量：T=120−1158/10=1.98T = \frac{120 - 115}{8/\sqrt{10}} = 1.98
  2. 拒绝域：T>t0.05(9)=1.833T > t_{0.05}(9) = 1.833
  3. 判断：T=1.98>1.833T = 1.98 > 1.833，拒绝原假设
  4. 结论：总体均值大于 115

答案：拒绝原假设

练习 12

设 X∼N(μ1,σ12)X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)，Y∼N(μ2,σ22)Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)，σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 已知，检验 H0:μ1=μ2H_0: \mu_1 = \mu_2，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用正态分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：Z=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}
  2. 在原假设成立的条件下，Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1)

答案：Z=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}

练习 13

设 X∼N(μ1,σ2)X \sim N(\mu_1, \sigma^2)，Y∼N(μ2,σ2)Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)，σ2\sigma^2 未知但相等，检验 H0:μ1=μ2H_0: \mu_1 = \mu_2，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用 t 分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：T=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)Sp1n1+1n2T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}
  2. 在原假设成立的条件下，T∼t(n1+n2−2)T \sim t(n_1 + n_2 - 2)
  3. 其中 Sp2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

答案：T=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)Sp1n1+1n2T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

练习 14

设 X∼N(μ1,σ12)X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)，Y∼N(μ2,σ22)Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)，μ1,μ2\mu_1, \mu_2 未知，检验 H0:σ12=σ22H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2，写出检验统计量。

参考答案

解题思路： 使用 F 分布的检验统计量。

详细步骤：

  1. 检验统计量：F=S12S22F = \frac{S_1^2}{S_2^2}
  2. 在原假设成立的条件下，F∼F(n1−1,n2−1)F \sim F(n_1-1, n_2-1)

答案：F=S12S22F = \frac{S_1^2}{S_2^2}

练习 15

设样本均值 x‾=52\overline{x} = 52，样本标准差 s=8s = 8，样本量 n=16n = 16，检验 H0:μ=50H_0: \mu = 50，H1:μ≠50H_1: \mu \neq 50，显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05。

参考答案

解题思路： 使用 T 检验进行双侧检验。

详细步骤：

  1. 检验统计量：T=52−508/16=1T = \frac{52 - 50}{8/\sqrt{16}} = 1
  2. 拒绝域：∣T∣>t0.025(15)=2.131|T| > t_{0.025}(15) = 2.131
  3. 判断：∣T∣=1<2.131|T| = 1 < 2.131，不拒绝原假设
  4. 结论：总体均值等于 50

答案：不拒绝原假设