数学归纳法

数学归纳法是证明与自然数有关命题的强大工具。它就像推倒多米诺骨牌——只要证明第一块会倒，且每一块倒下都会导致下一块倒下，那么所有的骨牌都会倒下。

学习目标

多米诺骨牌的启示

想象一排无限长的多米诺骨牌。要让所有骨牌都倒下，需要满足两个条件：

1. 第一块骨牌会倒下（基础情况）
2. 任意一块骨牌倒下，都会导致下一块倒下（递推关系）

这就是数学归纳法的核心思想！

为什么要学习数学归纳法？

在前面的章节中，我们学习了很多公式，比如：

• 等差数列求和：$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
• 等比数列求和：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

但我们如何证明这些公式对所有正整数 $n$ 都成立呢？数学归纳法就是答案！

数学归纳法的应用

数学归纳法主要用于证明三类问题：

1. 证明等式

例子：证明 $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

这类问题最常见，包括各种求和公式、递推关系等。

2. 证明不等式

例子：证明 $2^n > n^2$ （当 $n \geq 5$ 时）

不等式的证明往往需要巧妙的放缩技巧。

3. 证明整除性

例子：证明 $n^3 - n$ 能被 6 整除

整除性问题在数论中很重要。

本章内容导航

本章分为以下几个部分，建议按顺序学习：

1. 数学归纳法原理 - 理解两步法，掌握证明框架
2. 证明等式 - 学习证明求和公式等等式
3. 证明不等式 - 掌握放缩技巧
4. 证明整除性 - 学习模运算和整除性证明

章节

• 数学归纳法原理
• 证明等式
• 证明不等式
• 证明整除性

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