数学期望的应用

数学期望的应用

在决策中的应用

应用 1：期望收益最大化 在不确定环境下，决策者通常选择期望收益最大的方案。

应用 2：风险评估 通过计算期望损失来评估风险。

在统计中的应用

应用 3：样本均值 样本均值是总体期望的无偏估计。

应用 4：参数估计 许多统计方法都基于期望的性质。

实际应用案例

案例 1：投资决策

假设有两种投资方案：

• 方案 A：有 60%概率获得 1000 元，40%概率损失 500 元
• 方案 B：有 80%概率获得 300 元，20%概率损失 200 元

计算两种方案的期望收益：

方案 A 的期望收益： $E(A) = 0.6 \times 1000 + 0.4 \times (-500) = 600 - 200 = 400$

方案 B 的期望收益： $E(B) = 0.8 \times 300 + 0.2 \times (-200) = 240 - 40 = 200$

因此，方案 A 的期望收益更高。

案例 2：质量控制

在生产线上，产品的合格率为 95%。每生产 100 个产品，期望合格产品数量为： $E(X) = 100 \times 0.95 = 95$

案例 3：保险定价

保险公司根据历史数据计算某类事故的期望损失，以此为基础制定保费。

练习题

练习 1

已知 $X, Y$ 独立，$E(X)=1, E(Y)=2$，求 $E(X+Y)$。

参考答案

解题思路： 使用数学期望的线性性质。

详细步骤：

1. $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
2. $= 1 + 2 = 3$

答案：$3$

练习 2

某商店销售某种商品，每件商品的利润为 10 元，销售数量的分布为：

• 销售 1 件的概率：0.3
• 销售 2 件的概率：0.5
• 销售 3 件的概率：0.2

求期望利润。

参考答案

解题思路： 先计算期望销售数量，再乘以单件利润。

详细步骤：

1. 设销售数量为 $X$，则： $E(X) = 1 \times 0.3 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.2 = 0.3 + 1.0 + 0.6 = 1.9$

2. 期望利润 = $E(X) \times 10 = 1.9 \times 10 = 19$ 元

答案：19 元

练习 3

某工厂生产的产品合格率为 90%，不合格产品需要返工，返工成本为 50 元。每件产品的生产成本为 100 元。求每件产品的期望成本。

参考答案

解题思路： 考虑合格和不合格两种情况。

详细步骤：

1. 合格产品的成本：100 元
2. 不合格产品的成本：100 + 50 = 150 元
3. 期望成本：$E(C) = 0.9 \times 100 + 0.1 \times 150 = 90 + 15 = 105$ 元

答案：105 元

上一章节 常见分布的数学期望 学习常见概率分布的数学期望 下一章节 方差与标准差 学习方差和标准差的定义、性质、计算方法等