高斯消元法

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - 3R_1$：$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -7 & -11 \end{array} \right)$

3. 回代求解：

   • 从第二行：$-7y = -11$，所以 $y = \frac{11}{7}$
   • 从第一行：$x + 2y = 5$，所以 $x = 5 - 2 \times \frac{11}{7} = \frac{13}{7}$

答案：$x = \frac{13}{7}$，$y = \frac{11}{7}$

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解，注意这是齐次方程组。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - 2R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

3. 分析解的结构：

   • 系数矩阵的秩为 1，未知数个数为 3
   • 自由变量个数为 3-1=2
   • 设 $y = t$，$z = s$，则 $x = -t - s$

答案：$x = -t - s$，$y = t$，$z = s$（$t, s$ 为任意常数）

解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - R_1$：$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

3. 分析：

   • 系数矩阵的秩为 1
   • 增广矩阵的秩为 2
   • 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

答案：无解

解题思路： 先用高斯消元法化为行阶梯形，再用若尔当消元法化为简化行阶梯形。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$$

2. 高斯消元法：

   • $R_2 - 2R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$
   • $R_3 - R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right)$
   • $R_3 + 2R_2$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)$

3. 若尔当消元法：

   • $R_3 \times (-1)$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$
   • $R_2 + R_3$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$
   • $R_1 - R_2 - R_3$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

4. 直接读出解：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

答案：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

解题思路： 分别证明三种初等行变换都不改变矩阵的秩。

详细步骤：

1. 交换两行：不改变线性相关性，所以不改变秩
2. 数乘：不改变线性相关性，所以不改变秩
3. 倍加：不改变线性相关性，所以不改变秩

答案：证明完成