高斯消元法

简介

学习初等行变换、高斯消元法的步骤和应用，掌握用消元法求解线性方程组的方法

初等行变换

初等行变换的定义

定义：对矩阵进行以下三种变换称为初等行变换：

1. 交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
2. 数乘：用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行
3. 倍加：将矩阵的某一行的 k 倍加到另一行上

初等行变换的性质

定理：初等行变换不改变矩阵的秩。

证明：

• 交换两行：不改变线性相关性
• 数乘：不改变线性相关性
• 倍加：不改变线性相关性

初等行变换的矩阵表示

定理：初等行变换等价于左乘初等矩阵。

初等矩阵：

1. 交换矩阵：$E_{ij}$ 表示交换第 i 行和第 j 行的矩阵
2. 数乘矩阵：$E_i(k)$ 表示将第 i 行乘以 k 的矩阵
3. 倍加矩阵：$E_{ij}(k)$ 表示将第 j 行的 k 倍加到第 i 行的矩阵

高斯消元法

高斯消元法的基本思想

思想：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。

行阶梯形矩阵

定义：满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：

1. 零行（全为零的行）在非零行的下方
2. 每个非零行的第一个非零元素（称为主元）在上一行主元的右边
3. 主元下方的元素都是零

例子：

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

高斯消元法的步骤

步骤：

1. 前向消元：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形
2. 回代求解：从最后一行开始，逐行求解未知数

高斯消元法的例子

例 1：用高斯消元法解方程组： $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$

解：

1. 写出增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$$

2. 前向消元：

   • $R_2 - 2R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$
   • $R_3 - R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right)$
   • $R_3 + 2R_2$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)$

3. 回代求解：

   • 从第三行：$-z = 0$，所以 $z = 0$
   • 从第二行：$y - z = 1$，所以 $y = 1$
   • 从第一行：$x + y + z = 6$，所以 $x = 5$

4. 解：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

高斯-若尔当消元法

若尔当消元法的思想

思想：在行阶梯形的基础上，进一步化为简化行阶梯形（若尔当标准形）。

简化行阶梯形矩阵

定义：满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵：

1. 是行阶梯形矩阵
2. 每个主元都是 1
3. 主元所在列的其他元素都是 0

例子：

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$$

若尔当消元法的步骤

步骤：

1. 用高斯消元法化为行阶梯形
2. 将主元化为 1
3. 将主元上方的元素化为 0

解的结构分析

唯一解

条件：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数时，方程组有唯一解。

无穷多解

条件：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。

通解形式：特解 + 齐次方程组的通解

无解

条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

高斯消元法的优缺点

优点

1. 通用性强：适用于任意大小的线性方程组
2. 数值稳定：计算过程中数值误差较小
3. 易于实现：算法简单，易于编程实现
4. 可以分析解的结构：通过秩的分析可以判断解的情况

缺点

1. 计算量大：对于大规模方程组，计算量较大
2. 需要存储空间：需要存储整个增广矩阵
3. 不适合稀疏矩阵：对于稀疏矩阵，效率不高

练习题

练习 1

用高斯消元法解方程组 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$。

参考答案

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - 3R_1$：$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -7 & -11 \end{array} \right)$

3. 回代求解：

   • 从第二行：$-7y = -11$，所以 $y = \frac{11}{7}$
   • 从第一行：$x + 2y = 5$，所以 $x = 5 - 2 \times \frac{11}{7} = \frac{13}{7}$

答案：$x = \frac{13}{7}$，$y = \frac{11}{7}$

练习 2

用高斯消元法解方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$。

参考答案

解题思路： 按照高斯消元法的步骤求解，注意这是齐次方程组。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - 2R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

3. 分析解的结构：

   • 系数矩阵的秩为 1，未知数个数为 3
   • 自由变量个数为 3-1=2
   • 设 $y = t$，$z = s$，则 $x = -t - s$

答案：$x = -t - s$，$y = t$，$z = s$（$t, s$ 为任意常数）

练习 3

判断方程组 $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$ 的解的情况。

参考答案

解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$$

2. 前向消元： $R_2 - R_1$：$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

3. 分析：

   • 系数矩阵的秩为 1
   • 增广矩阵的秩为 2
   • 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

答案：无解

练习 4

用高斯-若尔当消元法解方程组 $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$。

参考答案

解题思路： 先用高斯消元法化为行阶梯形，再用若尔当消元法化为简化行阶梯形。

详细步骤：

1. 增广矩阵：

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$$

2. 高斯消元法：

   • $R_2 - 2R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array} \right)$
   • $R_3 - R_1$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right)$
   • $R_3 + 2R_2$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)$

3. 若尔当消元法：

   • $R_3 \times (-1)$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$
   • $R_2 + R_3$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$
   • $R_1 - R_2 - R_3$：$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

4. 直接读出解：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

答案：$x = 5$，$y = 1$，$z = 0$

练习 5

证明：初等行变换不改变矩阵的秩。

参考答案

解题思路： 分别证明三种初等行变换都不改变矩阵的秩。

详细步骤：

1. 交换两行：不改变线性相关性，所以不改变秩
2. 数乘：不改变线性相关性，所以不改变秩
3. 倍加：不改变线性相关性，所以不改变秩

答案：证明完成